Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Topología general


La topología general, a veces denominada topología de conjuntos, es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los espacios que son de naturaleza topológica. En esencia, trata conceptos como la continuidad, la compacidad y la conexión. Estos conceptos extienden ideas de la geometría y el análisis a un conjunto de espacios más generales.

Comprensión de los espacios topológicos

Un espacio topológico es un conjunto de puntos, en el cual para cada punto hay un conjunto de vecindarios que satisfacen un conjunto de axiomas que relacionan puntos y vecindarios.

Definición: Una topología en un conjunto X es una colección T de subconjuntos de X, que satisface: 1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de T. 2. Cualquier unión de elementos de T es un elemento de T. 3. Cualquier intersección finita de elementos de T es un elemento de T. El par (X, T) se denomina espacio topológico.

Por ejemplo, considere un conjunto X = {a, b, c} con una topología T = {{}, {a}, {a, b}, X}

Esta topología en X satisface todas las condiciones necesarias:

  • El conjunto vacío {} y el conjunto X están en T
  • La unión de cualquier elemento de T, por ejemplo, {a} ∪ {a, b} = {a, b}, también está en T
  • La intersección de cualquier elemento de T, por ejemplo, {a} ∩ {a, b} = {a}, también está en T

Conjuntos abiertos y cerrados

En topología, la distinción entre conjuntos abiertos y cerrados es fundamental. Un conjunto abierto es un miembro de la topología.

Por el contrario, si un conjunto es cerrado entonces su complemento es abierto. Es importante notar que un conjunto puede ser tanto abierto como cerrado, o ninguno.

Fundamentos de la topología

La base para una topología en un conjunto X es la colección B de subconjuntos de X (llamados elementos base) tal que cada conjunto abierto es una unión de elementos base. Este concepto simplifica la definición de topología al centrarse en bloques de construcción continuos básicos.

Definición: Una colección B de subconjuntos de X se llama una base para una topología en X si: 1. Para cada x en X, existe al menos un elemento base B que contiene x. 2. Si x pertenece a la intersección de dos elementos base B1 y B2, existe un elemento base B3 tal que x pertenece a B3 y B3 está contenido en B1 ∩ B2.

Trabajo continuo

La continuidad es un concepto fundamental en topología. Una función entre dos espacios topológicos es continua si, intuitivamente, lleva puntos "cercanos entre sí" en el dominio a puntos "cercanos entre sí" en el rango.

Definición: Una función f: (X, T) → (Y, U) es continua si para cada conjunto abierto V en U, la preimagen f -1 (V) es abierta en T.

Por ejemplo, considere la función f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x^2. Esta función es continua bajo la topología estándar en ℝ.

Homeomorfismos

Una función es un homeomorfismo si es una biyección continua con un inverso continuo. Los homeomorfismos son importantes porque definen que dos espacios topológicos son esencialmente iguales o "topológicamente equivalentes".

Compacidad

Un espacio es compacto si cada cubierta abierta tiene un subcubierta finita. Esta propiedad generaliza la noción de un espacio cerrado y acotado en el espacio euclidiano.

Definición: Un espacio topológico (X, T) es compacto si para cada colección de conjuntos abiertos {Ua} tal que la unión de Ua cubre X, existe una subcolección finita que cubre X.

Un ejemplo de un espacio compacto es el intervalo cerrado [0,1] sobre los números reales con la topología usual.

Conexión

Un espacio topológico es conexo si no puede ser dividido en dos conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos. En términos simples, el espacio está en una pieza.

Definición: Un espacio topológico (X, T) es conexo si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos U y V tal que X = U ∪ V.

La recta numérica real ℝ bajo la topología estándar es un ejemplo de un espacio conexo.

Ejemplo visual

Utilicemos algunos ejemplos visuales para explicar los conceptos de conjuntos abiertos y continuo:

Conjunto abierto imagen Mapas continuos

¿Por qué topología general?

La topología general proporciona información esencial sobre la naturaleza del espacio y las funciones. Estas ideas tienen aplicaciones en una variedad de disciplinas matemáticas, incluyendo geometría diferencial, topología algebraica y análisis funcional.

Reflexiones finales

A medida que te adentres más en el mundo de la topología general, comprender conceptos básicos como conjuntos abiertos y cerrados, bases para la topología, continuidad, compacidad y conexión formará la base sobre la cual se construyen ideas más complejas. Comprometerse con estos a nivel tanto teórico como práctico te permitirá apreciar la riqueza y profundidad de los estudios topológicos.


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