分離公理

分離公理は、位相空間とその性質を研究する数学の一分野である一般位相における重要な概念です。これらの公理は、位相空間の要素および部分集合がどの程度異なるかまたは分離されているかを示します。分離公理を理解することで、空間を分類し、その性質を詳細に研究することができます。

導入

位相において、分離公理は位相空間内の異なる点や集合がどのように分離されるかを説明するための枠組みを提供します。これらの公理は、距離と分離の基本的な幾何学的および解析的概念の自然な拡張です。これらの公理を詳細に説明し、より良い理解を深めるための例を探りましょう。

背景

分離公理を深く理解する前に、いくつかの基本的な概念を簡単に復習しましょう。これらは公理を理解するのに役立ちます:

• 位相空間: 集合 X がその部分集合のコレクション τ を含むとき、コレクション τ が一定の性質、例えば有限の交叉や任意の和に閉じているとき、X は位相空間と呼ばれます。
• 開集合: コレクション τ の要素は X の開集合と呼ばれます。
• 閉集合: X の部分集合は、その補集合が開集合であるとき、閉集合と呼ばれます。

分離公理の異なるレベル

分離公理は様々なレベルに分類され、各レベルは前のものより厳しい条件を課します。位相で使われる主要な分離公理は以下のとおりです:

1. T_0 分離公理 (コルモゴロフ空間):
2. T_1 分離公理 (フレシェ空間):
3. T_2 分離公理 (ハウスドルフ空間):
4. T_3 分離公理 (正則空間):
5. T_3.5 分離公理 (ティホノフまたは完全正則空間):
6. T_4 分離公理 (ノルム付空間):

T_0 分離公理 (コルモゴロフ空間)

位相空間 X は T_0 空間またはコルモゴロフ空間と呼ばれ、X の任意の異なる点 x および y に対して、それらのどちらか一方を含みもう一方を含まない開集合が最低1つ存在する場合です。

T_0 空間の例:

集合 X = {a, b} と位相 τ = {emptyset, {a}, X} を考えます。この空間では、点 a と b は互いに異なります。なぜなら、{a} という開集合が a を含み b を含まないからです。

点: a, b 開集合: ∅, {a}, X

T_1 分離公理 (フレシェ空間)

空間 X は T_1 であり、X の任意の異なる点 x および y に対して、開集合 U および V が存在し、x が U に属し、y が U に属さない、y が V に属し、x が V に属さない場合です。

T_1 場所の例:

標準の位相を持つ実数直線 mathbb{R} を考えます。任意の2つの異なる点 x および y に対して、それらを分離する開区間 (x-epsilon, x+epsilon) および (y-delta, y+delta) を見つけることができます。

点: x, y 開区間: (x-ε, x+ε), (y-δ, y+δ)

T_2 分離公理 (ハウスドルフ空間)

空間はハウスドルフ空間（または T_2 空間）と呼ばれ、任意の異なる2つの点 x および y に対して、x が U に属し、y が V に属し、U と V が共通する要素を持たない開集合 U および V が存在する場合です。

ハウスドルフ空間の例:

通常の位相を持つユークリッド空間 mathbb{R}^n は典型的なハウスドルフ空間の例です。任意の異なる2つの点に対して、それぞれの点を中心とする交差しない開球を構成することができます。

点: x, y 開球: B(x;r), B(y;s) (text{x neq y → B(x;r) ∩ B(y;s) = ∅})

T_3 分離公理 (正則空間)

位相空間 X は正則空間または T_3 空間と呼ばれ、T_1 空間であり、任意の閉集合 C および C に含まれない点 x に対して、x in U および C subset V となるような互いに素な開集合 U と V が存在する場合です。

正則空間の例:

実数 mathbb{R} における通常の位相を持つ開区間 (0,1) は正則空間です。任意の点とそれを含まない閉集合の周りに互いに素な開区間を簡単に見つけることができます。

点: x 閉集合: [a,b] 開集合: U(x - ε, x + ε), V(a - δ, b + δ) with U ∩ V = ∅

T_3.5 分離公理 (ティホノフまたは完全正則空間)

空間 X はティホノフ（または完全正則）と呼ばれ、T_1 空間であり、任意の閉集合 C および C に含まれない点 x に対して、連続関数 f:X → [0,1] が存在し、f(x) = 0 かつ f(C) = 1 となる場合です。

ティホノフ空間の例:

実数 mathbb{R} は標準の位相を持ち、ティホノフ空間を形成します。任意の点と閉集合に対して、それらを分離する連続関数を見つけることができます。

連続関数: f(x) = 0, f(C) = 1

T_4 分離公理 (ノルム空間)

空間 X は正規空間と呼ばれます。その場合、T_1 空間であり、X の任意の互いに素な閉集合 A, B に対して、それらを含む互いに素な開集合が存在します。

共通の場所の例:

実数直線 mathbb{R} は通常の位相を持ち、正規空間です。任意の2つの互いに素な閉集合に対して、それらを囲む互いに素な開集合を構成することができます。

互いに素な閉集合: A, B 開集合: O(A), O(B) with O(A) ∩ O(B) = ∅

まとめ

分離公理は、位相空間内の分離の性質のグラデーションを提供します。T_0 から T_4 へと移るにつれて、条件が厳しくなり、空間はより分離可能に見えます。これらの公理を理解することで、位相空間をよりよく分類し、異なる数学的文脈でその振る舞いを研究することができます。

結論

分離公理は、位相の中で重要な役割を果たし、位相空間の性質や構造に影響を与えます。これらの公理を研究することで、空間がどのようにして一意に特徴付けられるかを理解し、これらの空間内の点と集合間の複雑な関係をよりよく理解することができます。このトピックを習得することは、トポロジーの分野を深く掘り下げ、それを数学や他のさまざまな分野での応用に活かすための基礎となります。

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