コンパクト性と連結性

数学の世界において、位相は空間の連続変形によって保存される性質を研究する分野です。一般位相における基本的な概念の二つが「コンパクト性」と「連結性」です。これらの概念は、位相空間の性質と構造を理解する上で重要であり、多くの数学的文脈で重要です。

コンパクト性の理解

コンパクト性は、ユークリッド空間における閉集合と有界集合の概念を一般化した、位相空間の基本的な性質です。コンパクト性をより深く理解するために、まず定義を見てみましょう。

定義

位相空間 (X, tau) は、コンパクトであるとは、X の任意の開被覆が有限部分被覆を持つときに言います。簡単に言うと、無限の可能性がある開集合で空間全体を覆った場合でも、その全体を覆う有限個の集合を見つけることができるということです。

視覚的な例

空間を単純な形、例えばオレンジと考えてみてください。このオレンジを異なるサイズの粘着紙で覆うことができます。どのように覆うかに関わらず、有限個の部分に減らしてもオレンジ全体を覆うことができるため、空間はより密になります。

この例では、大きな円が空間全体を覆っていますが、それを3つの個別の図形（青）に減らしてもオレンジ色の部分を依然として囲んでいます。

ユークリッド空間におけるコンパクト性

ユークリッド空間 (mathbb{R}^n) 内の集合は、それが閉じていて有界である場合に限りコンパクトです。この記述はハイネ-ボレルの定理の一部です。詳細を説明しますと:

実数直線 (mathbb{R}) 上の区間 [0, 1] を考えると、それはコンパクトです。理由は？それは閉じている（その端点 0 と 1 を含む）し、有界（有限の距離をカバーする）であるからです。

コンパクト空間の性質

コンパクト空間の注目すべき特性として以下が挙げられます：

すべてのコンパクト空間はLindelöfであり、すべての開被覆が可算部分被覆を持ちます。
ハウスドルフ空間の任意のコンパクト部分集合は閉集合です。
コンパクト性は連続関数の下で保存され、密な空間の画像は連続関数の下で密です。

連結性の理解

位相におけるもう一つの重要な概念である連結性は、空間が2つの互いに素で空でない開集合に分割可能かどうかに関するものです。このような分割が不可能である場合、空間は連結していると言います。

定義

位相空間 (X, tau) は、2つ以上の互いに素で空でない開集合に分けることができない場合、連結していると言います。言い換えれば、分離が可能であるならば、その空間は連結していないのです。

視覚的な例

平らな円を考えてみてください。それを互いに触れず、全体を覆う2つの開集合に分割することはできますか？できません、なぜならどんな分割でも重複したり到達しなかったりする集合を作ることになるからです。

この連結集合では、どの部分を外すことなく全体を別々の開部分として保持する境界を描くことはできません。

実数線における連結性

実数 (mathbb{R}) は連結しています。これは直感的に確認できます：実数軸に線を引いて、それを互いに触れない独立した開区間に分離することはできません。

実数線上で (1, 2) と (2, 3) のような区間を取ります。今、点2を取り除くと、実数の連結性によりその部分間の関係は残ります。

連結空間の性質

連結場所についての重要なポイントは以下の通りです：

連続関数の下で連結空間の画像は連結しています。
空間が連結している場合、分離可能な任意の連続写像が離散空間に持つ場合は定数でなければなりません。
生産的に、2つの連結空間の積は連結しています。