開集合と閉集合

位相の研究において、基本的な概念の一つが開集合と閉集合です。これらの概念は、より複雑な構造が構築される基礎を形成します。開集合と閉集合は抽象的に思えるかもしれませんが、実際には幾何学と空間の直感的な理解に密接に関連しています。

開集合の直感的な理解

大きな公園にいると想像してください。この公園を空間と考えると、この公園の任意の位置を選ぶことは空間内の「点」を選ぶことと同じです。さて、境界フェンスのないピクニックスポットを考えてみましょう。この空間内を出入りする際に境界を越えることなく自由に動くことができます。これは位相における開集合に似ています。

数学的には、集合が開であると言われるのは、大まかに言えばその集合の中を衝突することなく移動できる場合です。集合内のある点について、その点の周りの小さな近傍を見つけることができ、その近傍は集合の中に完全に含まれています。

視覚的表現

上の図では、ライトブルーの全領域が開集合を表しています。円の中の任意の点を選択すると、その周りの小さな近傍（おそらくもう一つの小さな円）を見つけることができ、それはライトブルーの領域内に完全に含まれています。

閉集合: パラドックス

同じ公園を考えてみましょうが、今回はフェンスの境界があります。この公園の中にいると、その縁（フェンス）にたどり着くことができます。これは位相における閉集合と同じです。位相において、集合はその境界点を全て含んでいる場合に閉と呼ばれます。

閉集合について考える別の方法は、開集合との補完関係を通してです。集合が閉であるとは、それの補集合（それに含まれていない全て）が開集合である場合です。これにより、位相の重要な性質の一つが生じます。集合は同時に開でもあり閉でもあり、またはどちらでもないことができます。

視覚的表現

この図では、ライトコーラルの領域が閉集合です。黒い縁（境界）上の点を選んだ場合、それは依然としてこの閉集合の一部と見なされます。

正式な定義

直感的なアイデアをさておき、もう少し正式な定義を見てみましょう。

開集合の定義

位相空間(X, τ)内の集合Uが開であると言われる場合、Uは位相τのメンバーです。つまり、U ∈ τです。

数学的には、これは以下のように表すことができます: U内のすべての点xについて、その点xの周りの近傍Vが存在し、Vは完全にU内に含まれています。

閉集合の定義

位相空間 (X, τ) 内の集合 F が 閉 と呼ばれるのは、その補集合 X F が開集合である場合です。つまり X F ∈ τ です。

簡単に言うと、閉集合はその極限点（境界点）の全てを含むものです。

ユークリッド空間のテキスト例

おなじみのユークリッド空間R^nでは、開集合と閉集合の概念は我々の従来の理解に対応します:

• Rでは開区間(a, b)が開集合の例です。
• 閉区間[a, b]は閉集合の例です。
• 空集合と全空間R^nは開でもあり閉でもある、クローン集合と呼ばれます。これは矛盾しているように見えるかもしれませんが、これらは位相の極限のケースであることを忘れないでください。
• R^2では、境界のない開円盤は開集合です。
• 境界円を含む閉円盤は閉集合です。

開集合の性質

一般的な位相空間における開集合のいくつかの特性は次のとおりです:

• 任意の開集合の集合の合併は開です。つまり、もし{U_i}がX内で開であるなら、それらの合併∪U_iも開です。
• 有限個の開集合の交差は開です。つまり、U_1, U_2, ..., U_nがX内で開であるなら、U_1 ∩ U_2 ∩ ... ∩ U_nは開です。
• 位相の定義により、空集合と全空間Xは常に開です。

閉集合の性質

閉集合には、開集合の2倍の素晴らしい性質があります:

• 任意の閉集合の集合の交差は閉です。したがって、もし{F_i}がX内で閉であるなら、∩F_iも閉です。
• 有限個の閉集合の合併は閉です。したがって、もしF_1, F_2, ..., F_nがX内で閉であるなら、F_1 ∪ F_2 ∪ ... ∪ F_nは閉です。
• 開集合と同じように、空集合と全空間Xも閉と見なされます。

境界とボーダーポイント

理解をさらに深めるために、限界点と極限点の概念をもう少し掘り下げてみましょう。

極限点

位相空間内の集合Aの境界は、Aの内側と外側の両方から到達できる点で構成されます。これらの点は必ずしもAまたはその補集合にあるわけではありませんが、境界上にあります。

極限点

集合Aの極限点(または収束点)は、xの任意の開近傍が、少なくともxと異なるA内の点を含むような点xです。閉集合はその全ての極限点を含んでいます。

例と練習問題

学んだことを応用するためにいくつかの例を解いてみましょう:

1. 例1: R内の集合(0, 1) ∪ (2, 3)を考えてください。これは開ですか？
   答え: はい、開です。(0, 1)と(2, 3)の両方がR内で開区間だからです。
2. 例2: R内の集合[0, 1] ∪ (2, 3]を考えてください。これは閉ですか？
   答え: 閉ではありません。集合[0, 1] ∪ (2, 3]の極限点である点2が含まれていないからです。
3. 例3: 任意の開集合の合併が開であることを示しなさい。
   解決策: 任意の位相空間X内で、{U_i}_iが開集合の任意の集合であるとします。任意の点x ∈ ∪U_iに対して、あるiが存在しx ∈ U_iです。U_iは開であるため、U_i内に完全に含まれる近傍を持ち、それは∪U_i内にあります。
4. 演習: 有限個の閉集合の交差は閉であることを証明しなさい。

終わりの考え

開集合と閉集合の概念は、抽象的でありながら応用される数学が豊富な分野である位相の重要な部分を成します。これらの概念は限界を定義し、位相空間内の限界、連続性、および収束を理解する上で基本的なものです。

開集合と閉集合を理解することは、密度、連結性、さまざまなタイプの連続体のような、より深い概念のさらなる探求の道を開き、さらにより洗練された美しい数学理論の理解への道を切り開きます。

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