खुले और बंद सेट

टोपोलॉजी के अध्ययन में, एक बुनियादी अवधारणा खुले और बंद सेट की है। ये विचार उन जटिल संरचनाओं का आधार बनते हैं जिनका निर्माण किया जाता है। जबकि खुले और बंद सेट अमूर्त लग सकते हैं, वे वास्तव में हमारी ज्यामिति और अंतरिक्ष की सहज समझ से करीबी रूप से जुड़े होते हैं।

खुले सेटों की सहज समझ

कल्पना करें कि आप एक बड़े पार्क में हैं। यदि हम इस पार्क को एक स्थान के रूप में मानते हैं, तो इस पार्क में किसी भी मनमाने स्थान का चयन करना स्थान में एक 'बिंदु' चुनने के समान है। अब, एक पिकनिक स्थान के बारे में सोचें जिसमें कोई सीमा बाड़ नहीं है। आप बिना किसी सीमा को पार किए इस स्थान में स्वतंत्र रूप से घूम सकते हैं। यह टोपोलॉजी में एक खुले सेट के समान है।

गणितीय शब्दों में, एक सेट को खुला कहा जाता है जब, मोटे तौर पर, आप उसके किनारे से टकराए बिना सेट के अंदर घूम सकते हैं। सेट के अंदर हर बिंदु के लिए, आप उस बिंदु के चारों ओर एक छोटा परिवेश खोज सकते हैं जो भी पूरी तरह से सेट के भीतर है।

दृश्य प्रतिनिधित्व

उपरोक्त आरेख में, पूरी हल्की नीली क्षेत्र एक खुला सेट है। यदि आप वृत्त के भीतर कोई भी बिंदु चुनते हैं, तो आप उसके चारों ओर एक छोटा परिवेश (शायद एक और छोटा वृत्त) खोज सकते हैं जो अभी भी पूरी तरह से हल्की नीली क्षेत्र में समाहित है।

बंद सेट: एक विरोधाभास

अब उसी पार्क के बारे में सोचें, लेकिन इस बार एक बाड़ वाला सीमा के साथ। यदि आप इस पार्क के अंदर हैं, तो आप किनारे पर पहुँच सकते हैं - बाड़। यह एक बंद सेट के समान है। टोपोलॉजी में, एक सेट को बंद कहा जाता है यदि उसमें उसके सभी सीमा बिंदु शामिल होते हैं।

बंद सेटों के बारे में सोचने का एक और तरीका उनके पूरक संबंध के माध्यम से है। एक सेट को बंद कहा जाता है यदि उसका पूरक (वह सब कुछ जो उसमें नहीं है) एक खुला सेट होता है। यह टोपोलॉजी के एक महत्वपूर्ण गुण को जन्म देता है - सेट एक ही समय में खुले और बंद दोनों हो सकते हैं, या नहीं भी हो सकते हैं।

दृश्य प्रतिनिधित्व

इस आरेख में, हल्का कोरल क्षेत्र एक बंद सेट है। यदि आप काले किनारे (सीमा) पर एक बिंदु चुनते हैं, तो वह अभी भी इस बंद सेट का हिस्सा माना जाता है।

औपचारिक परिभाषाएँ

अब जब हमारे पास सहज विचार समाप्त हो गए हैं, तो चलें और अधिक औपचारिक परिभाषाओं को देखें।

खुले सेट की परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस (X, τ) में सेट U को खुला कहा जाता है यदि U टोपोलॉजी τ का सदस्य है। इसका अर्थ है, U ∈ τ।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: U में प्रत्येक बिंदु x के लिए, x के चारों ओर एक परिवेश V मौजूद है, ऐसा कि V पूरी तरह से U में समाहित है।

बंद सेट की परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस (X, τ) में सेट F को बंद कहा जाता है यदि उसका पूरक, X F, एक खुला सेट होता है। अर्थात, X F ∈ τ।

सरल शब्दों में, एक बंद सेट वह है जो अपने सभी सीमा बिंदुओं (सीमा बिंदुओं) को शामिल करता है।

यूक्लिडियन स्पेस से पाठ उदाहरण

परिचित यूक्लिडियन स्पेस R^n में, खुले और बंद सेटों की अवधारणाएँ हमारी पारंपरिक समझ के अनुरूप होती हैं:

• R में खुला अंतराल (a, b) एक खुला सेट का उदाहरण है।
• बंद अंतराल [a, b] बंद सेट का एक उदाहरण है।
• खाली सेट और पूरा स्पेस R^n दोनों खुले और बंद होते हैं, जिन्हें क्लोपेन सेट कहा जाता है। यह विरोधाभासी लग सकता है, लेकिन याद रखें कि ये टोपोलॉजी में सीमा के मामले होते हैं।
• R^2 में, बिना सीमा के खुला डिस्क एक खुला सेट है।
• एक बंद डिस्क, जिसमें उसकी सीमा सर्कल भी शामिल है, एक बंद सेट है।

खुले सेटों के गुण

सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में खुले सेटों के कुछ वर्णन हैं:

• किसी भी संग्रह का संयुक्त खुले सेटों का खुला होता है। दूसरे शब्दों में, यदि {U_i} X में खुले हैं, तो उनका संघ ∪U_i भी खुला होता है।
• समाप्ति संख्या में खुले सेटों का छेदन खुला होता है। इसलिए, यदि U_1, U_2, ..., U_n X में खुले हैं, तो U_1 ∩ U_2 ∩ ... ∩ U_n खुला होता है।
• टोपोलॉजी की परिभाषा के अनुसार खाली सेट और पूरा स्थान X हमेशा खुले होते हैं।

बंद सेटों के गुण

बंद सेटों के अपने सुंदर गुण होते हैं जो खुले सेटों की तुलना में दोगुने होते हैं:

• किसी भी संग्रह का छेदन बंद सेटों का बंद होता है। इसलिए यदि {F_i} X में बंद होते हैं, तो ∩F_i भी बंद होता है।
• समाप्ति संख्या में बंद सेटों का संयुक्त बंद होता है। अतः, यदि F_1, F_2, ..., F_n X में बंद होते हैं, तो F_1 ∪ F_2 ∪ ... ∪ F_n बंद होता है।
• खुले सेटों की तरह ही, खाली सेट और पूरा स्थान X भी बंद माने जाते हैं।

सीमा और सीमावर्ती बिंदु

हमारी समझ को और मजबूत करने के लिए, चलिए सीमा और सीमा बिंदुओं की अवधारणा में थोड़ा गहरा गोता लगाते हैं।

सीमा बिंदु

किसी सेट A का सीमा एक टोपोलॉजिकल स्पेस में उन बिंदुओं से बनी होती है जिन तक A के भीतर और बाहर से पहुंचा जा सकता है। ये बिंदु जरूरी नहीं कि A या उसके पूरक में हो, लेकिन सीमा पर होते हैं।

सीमा बिंदु

किसी सेट A का सीमा बिंदु (या संचय बिंदु) एक बिंदु x होता है ऐसा कि x के हर खुले परिवेश में A में कम से कम एक बिंदु होता है जो x से भिन्न होता है। बंद सेटों में उनके सभी सीमा बिंदु होते हैं।

उदाहरण और अभ्यास

चलो कुछ उदाहरणों के माध्यम से काम करें ताकि हम जो सीखा है उसे लागू कर सकें:

1. उदाहरण 1: सेट (0, 1) ∪ (2, 3) को R में विचार करें। क्या यह खुला है?
   उत्तर: हाँ, यह खुला है क्योंकि (0, 1) और (2, 3) दोनों R में खुले अंतराल हैं।
2. उदाहरण 2: सेट [0, 1] ∪ (2, 3] को R में विचार करें। क्या यह बंद है?
   उत्तर: यह बंद नहीं है क्योंकि बिंदु 2 सेट [0, 1] ∪ (2, 3] का सीमा बिंदु है और इसमें शामिल नहीं है।
3. उदाहरण 3: दिखाएँ कि खुले सेटों के मनमाने संग्रह का सम्मिलन खुला होता है।
   समाधान: मान लें कि {U_i}_i एक टोपोलॉजिकल स्पेस X में खुले सेटों का एक मनमाना संग्रह है। किसी भी बिंदु x ∈ ∪U_i के लिए, एक i है ऐसा कि x ∈ U_i। क्योंकि U_i खुला है, इसमें एक परिवेश पूरी तरह से U_i में शामिल है और इसलिए ∪U_i में।
4. अभ्यास: साबित करें कि समाप्ति संख्या में बंद सेटों का छेदन बंद होता है।

समापन विचार

खुले और बंद सेटों के अवधारणाएँ टोपोलॉजी का एक महत्वपूर्ण भाग हैं, एक क्षेत्र जो अमूर्त लेकिन लागू गणित में समृद्ध है। ये अवधारणाएँ सीमाएँ परिभाषित करने में मदद करती हैं और टोपोलॉजिकल स्पेस में सीमाएँ, निरंतरता, और अभिसरण को समझने में मौलिक होती हैं।

खुले और बंद सेटों की समझ घनत्व, संलग्नता, और विभिन्न प्रकार के कॉन्टिनुअम जैसे गहरे अवधारणाओं की आगे की खोज के लिए रास्ता खोलती है, जो बदले में अधिक परिष्कृत और सुंदर गणितीय सिद्धांतों को समझने का मार्ग प्रशस्त करती है।

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