Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Conjuntos abiertos y cerrados


En el estudio de la topología, uno de los conceptos fundamentales es el de conjuntos abiertos y cerrados. Estas ideas forman la base sobre la cual se construyen estructuras más complejas. Aunque los conjuntos abiertos y cerrados pueden parecer abstractos, de hecho están estrechamente relacionados con nuestra comprensión intuitiva de la geometría y el espacio.

Comprensión intuitiva de los conjuntos abiertos

Imagina que estás en un gran parque. Si consideramos este parque como un espacio, entonces elegir cualquier ubicación arbitraria en este parque es lo mismo que elegir un 'punto' en el espacio. Ahora, piensa en un lugar de picnic que no tiene una valla de límite. Puedes moverte libremente dentro y fuera de este espacio sin cruzar ningún límite. Esto es similar a un conjunto abierto en topología.

En términos matemáticos, se dice que un conjunto es abierto cuando, en términos generales, puedes moverte dentro del conjunto sin chocar con su borde. Para cada punto dentro del conjunto, puedes encontrar un pequeño entorno alrededor de ese punto que también está completamente dentro del conjunto.

Representación visual

Conjunto abierto

En el diagrama anterior, toda la región de color azul claro representa un conjunto abierto. Si eliges cualquier punto dentro del círculo, puedes encontrar un pequeño entorno (quizás otro círculo más pequeño) alrededor de él que todavía está completamente contenido en la región de color azul claro.

Conjuntos cerrados: una paradoja

Ahora pensemos en el mismo parque, pero esta vez con una valla de límite. Si estás dentro de este parque, puedes alcanzar el borde: la valla. Esto es lo mismo que un conjunto cerrado. En topología, se llama cerrado a un conjunto si contiene todos sus puntos de borde.

Otra forma de pensar en los conjuntos cerrados es a través de su relación de complemento con los conjuntos abiertos. Un conjunto es cerrado si su complemento (todo lo que no está en él) es un conjunto abierto. Esto da lugar a una de las propiedades importantes de la topología: los conjuntos pueden ser abiertos y cerrados al mismo tiempo, o ninguno de los dos.

Representación visual

Conjunto cerrado

En este diagrama, el área de color coral claro es un conjunto cerrado. Si eliges un punto en el borde negro (límite), todavía se considera parte de este conjunto cerrado.

Definiciones formales

Ahora que tenemos la idea intuitiva fuera del camino, veamos definiciones más formales.

Definición de conjunto abierto

Un conjunto U en un espacio topológico (X, τ) se llama abierto si U es un miembro de la topología τ. Esto significa, U ∈ τ.

Matemáticamente, esto puede expresarse como: para cada punto x en U, existe un barrio V alrededor de x tal que V está completamente contenido en U

Definición de conjunto cerrado

Un conjunto F en un espacio topológico (X, τ) se llama cerrado si su complemento, X F, es un conjunto abierto. Es decir, X F ∈ τ.

En términos simples, un conjunto cerrado es uno que incluye todos sus puntos límite (puntos de borde).

Ejemplos de texto del espacio euclidiano

En el familiar espacio euclidiano R^n, los conceptos de conjuntos abiertos y cerrados corresponden a nuestra comprensión tradicional:

  • En R intervalo abierto (a, b) es un ejemplo de un conjunto abierto.
  • intervalo cerrado [a, b] es un ejemplo de un conjunto cerrado.
  • conjunto vacío y todo el espacio R^n son ambos abiertos y cerrados, conocidos como conjuntos clopen. Esto puede parecer contradictorio, pero recuerda que estos son casos límite en topología.
  • En R^2, un disco abierto sin borde es un conjunto abierto.
  • Un disco cerrado, incluida su circunferencia, es un conjunto cerrado.

Propiedades de los conjuntos abiertos

Algunas caracterizaciones de los conjuntos abiertos en espacios topológicos generales son:

  • La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es abierta. En otras palabras, si {U_i} son abiertos en X, entonces su unión ∪U_i también es abierta.
  • La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta. Así que, si U_1, U_2, ..., U_n son abiertos en X, entonces U_1 ∩ U_2 ∩ ... ∩ U_n es abierta.
  • Por definición de topología, el conjunto vacío y todo el espacio X siempre están abiertos.

Propiedades de los conjuntos cerrados

Los conjuntos cerrados tienen sus propias propiedades agradables que son el doble de las de los conjuntos abiertos:

  • La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es cerrada. Entonces, si {F_i} son cerrados en X, entonces ∩F_i también es cerrado.
  • La unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada. Así, si F_1, F_2, ..., F_n son cerrados en X, entonces F_1 ∪ F_2 ∪ ... ∪ F_n es cerrado.
  • Al igual que los conjuntos abiertos, el conjunto vacío y todo el espacio X también se consideran cerrados.

Puntos de frontera y borde

Para fortalecer aún más nuestra comprensión, adentrémonos un poco más en el concepto de límites y puntos límite.

Punto límite

La frontera de un conjunto A en un espacio topológico consiste en puntos que pueden ser alcanzados desde dentro y fuera de A. Estos puntos no necesariamente se encuentran en A o su complemento, pero están en la frontera.

Punto límite

Un punto límite (o punto de acumulación) de un conjunto A es un punto x tal que cada barrio abierto de x contiene al menos un punto en A distinto de x. Los conjuntos cerrados tienen todos sus puntos límite.

Ejemplos y ejercicios

Trabajemos algunos ejemplos para aplicar lo que hemos aprendido:

  1. Ejemplo 1: Considera el conjunto (0, 1) ∪ (2, 3) en R ¿Es abierto?
    Respuesta: Sí, es abierto ya que (0, 1) y (2, 3) son intervalos abiertos en R
  2. Ejemplo 2: Considera el conjunto [0, 1] ∪ (2, 3] en R ¿Es cerrado?
    Respuesta: No es cerrado porque el punto 2 es un punto límite del conjunto [0, 1] ∪ (2, 3] y no está incluido en él.
  3. Ejemplo 3: Demuestra que la unión de una colección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta.
    Solución: Sea {U_i}_i una colección arbitraria de conjuntos abiertos en un espacio topológico X. Para cualquier punto x ∈ ∪U_i, existe un i tal que x ∈ U_i. Dado que U_i es abierto, tiene un barrio completamente contenido en U_i y, por lo tanto, en ∪U_i.
  4. Ejercicio: Demuestra que la intersección de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada.

Reflexiones finales

Los conceptos de conjuntos abiertos y cerrados son una parte importante de la topología, un campo rico en matemáticas abstractas pero aplicadas. Estos conceptos ayudan a definir límites y son fundamentales para comprender límites, continuidad y convergencia en espacios topológicos.

Comprender conjuntos abiertos y cerrados abre el camino para una exploración más profunda de conceptos como densidad, conectividad y diferentes tipos de continuum, que a su vez allanan el camino para comprender teorías matemáticas más sofisticadas y hermosas.


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Conjuntos abiertos y cerrados

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