抽象代数学

抽象代数学は、高度な数学においてグループ、環、体、加群、ベクトル空間、代数などの代数構造を研究する興味深い分野です。初等代数学とは異なり、方程式を解いたり未知数の値を求めたりするのではなく、代数的プロセスが動作する理論的側面や枠組みに深く分け入ります。

基本的な定義と概念

抽象代数学におけるいくつかの基本的な構造の定義から始めましょう。

群

群とは、任意の2つの要素を組み合わせて第3の要素を形成し、これがセット内にある操作を持つ集合です。この操作は、閉包性、結合性、単位元、可逆性の4つの条件を満たす必要があります。

閉包性:操作*を持つ集合Gにおいて、すべてのa, bに対してa * bもGに含まれる。

結合性: すべてのa, b, cに対して(a * b) * c = a * (b * c)

単位元 (e): すべてのaに対してa * e = e * a = a。

可逆性: すべての要素aに対して、集合G内にa * b = b * a = eを満たす要素bが存在します。

整数の集まりZと加算操作が含まれる群が例です。整数は加算に対して閉じており、和は結合的であり、単位元は0で、すべての整数xに対して-xという逆元があります。

環

環は加算と乗算の2つの操作を持つ集合です。これらの操作は特定の規則を満たす必要があります:

加算と乗算の両方が結合的である。
加法単位元0が存在し、任意のaに対してa + 0 = aである。
加算は可換である: すべてのa, bに対してa + b = b + a。
すべての要素aに対して、加法逆元-aが存在し、a + (-a) = 0である。
掛算は加算に対し分配的である: すべてのa, b, cに対しa * (b + c) = a * b + a * c。

環の一例は、通常の加算と乗算操作を持つ整数の集まりZです。別の例は実係数を持つ多項式の集まりです。多項式定義された加算と乗算で、それらは環を形成します。

(x + y) + z = x + (y + z) (加算の結合性)
x * (y * z) = (x * y) * z (乗算の結合性)
x + 0 = x (加法単位元)
x + (-x) = 0 (加法逆元)
x * (y + z) = x * y + x * z (分配法則)

体

体とは加算と乗算が定義され、それらが有理数のように振る舞うセットで、すべての非ゼロ要素に対して乗法逆元を含みます。体は以下の性質を含みます:

環のすべての性質。
掛算は可換である: すべてのa, bに対しa * b = b * a。
乗法単位元1が存在し、任意のaに対しa * 1 = a。
すべての非ゼロ要素aには乗法逆元a^-1が存在し、a * a^-1 = 1。

体の例としては、通常の加算と乗算を持つ有理数の集まりQが挙げられます。実数の集まりRや複素数の集まりCもまた体です。

体での演算の視覚例

その他の代数的構造

グループ、環、体に加えて、抽象代数学は加群、ベクトル空間、代数などの他の複雑な構造も研究します。

加群

ベクトル空間の概念と類似している加群は、要素が環の要素でスケーリングできる構造です。加群は、必ずしも体ではない環からスカラーを許可することによってベクトル空間の概念を広げます。

ベクトル空間

ベクトル空間はベクトル加算とスカラー乗算という2つの操作の下で閉じた集合であり、これらの操作に関連する10の公理（例: 結合性、可換性、単位元）に従います。ベクトル空間は、線、行列、多項式など多くの数学的概念をサポートします。

(a + b) + c = a + (b + c) (加算の結合性)
a + b = b + a (加算の可換性)
a + 0 = a (加算の単位元)
a + (-a) = 0 (加算の逆元)
1 * a = a (乗算の単位元)
x * (y * a) = (x * y) * a (スカラー乗算の結合性)
x * (a + b) = (x * a) + (x * b) (スカラー乗算の分配法則)
(x + y) * a = (x * a) + (y * a) (体要素による分配法則)

ベクトル空間の視覚表現