Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Álgebra Abstrata ↓


Álgebra linear


Álgebra linear é uma pedra angular da matemática moderna e suas aplicações em ciência, engenharia e muitos outros campos. Trata-se de vetores, matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares. Embora seja um ramo que comece com conceitos básicos, suas implicações são vastas e poderosas, tornando-o um tópico importante nos estudos de matemática de graduação, especialmente dentro da álgebra abstrata.

Conceitos básicos

Na álgebra linear, começamos entendendo estruturas simples, mas poderosas, chamadas vetores e matrizes. Vamos definir o que são:

Vetores

Um vetor é essencialmente uma lista ordenada de números. Podemos pensar nele como um ponto no espaço, onde cada número representa uma coordenada em um eixo. Um vetor em um espaço bidimensional pode ser escrito como:

V = [x, y]

Por exemplo, um vetor pode ser [3, 4]. Isso representa um ponto no espaço 2D que está a 3 unidades ao longo do eixo x e 4 unidades ao longo do eixo y.

Matrizes

Uma matriz é uma matriz retangular de números que pode ser usada para representar uma coleção de vetores ou descrever transformações. Uma matriz com duas linhas e duas colunas pode ser representada como:

A = [[a, b],
     [c, d]]

Por exemplo, uma matriz pode ser assim:

A = [[1, 2],
     [3, 4]]

Esta matriz possui duas linhas e duas colunas, muitas vezes chamada de matriz 2x2.

Operações com vetores e matrizes

Existem várias operações importantes que podemos realizar com vetores e matrizes, incluindo adição, multiplicação por um escalar e a importante multiplicação de matrizes. Para entender essas operações, vamos analisá-las uma a uma:

Adição de vetores

A adição de dois vetores envolve a soma de seus elementos correspondentes. Se você tem dois vetores:

u = [u1, u2]
v = [v1, v2]

A soma deles, u + v, é definida da seguinte forma:

u + v = [u1 + v1, u2 + v2]

Por exemplo, se u = [1, 3] e v = [4, 5], então:

  u + v = [1 + 4, 3 + 5] = [5, 8]

Multiplicação por escalar

A multiplicação por escalar envolve multiplicar cada componente de um vetor por um escalar (um único número). Se c é um escalar e v = [v1, v2] é um vetor, então a multiplicação por escalar é c * v:

c * v = [c * v1, c * v2]

Se o vetor v = [2, 3] e o escalar c = 4, o resultado da operação será:

  4 * [2, 3] = [8, 12]

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é talvez uma das operações mais complexas em álgebra linear, mas é fundamental. Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz n x p, então seu produto AB é uma matriz m x p. O elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna de AB é calculado da seguinte forma:

(AB)_{ij} = Σ (A_{ik} * B_{kj})

Exemplo: Vamos considerar que A e B sejam:

  A = [[1, 2],
       [3, 4]]

  B = [[5, 6],
       [7, 8]]

O produto AB é calculado da seguinte forma:

  AB = [[(1*5 + 2*7), (1*6 + 2*8)],
        [(3*5 + 4*7), (3*6 + 4*8)]]

     = [[19, 22],
        [43, 50]]

Espaço vetorial

Um espaço vetorial é uma coleção de vetores que podem ser somados e escalados por números, conhecidos como escalares. Escalares são geralmente números reais, mas números complexos ou outros campos numéricos também podem ser usados.

Propriedades importantes que caracterizam um espaço vetorial incluem:

  • Fechamento sob adição: A soma de dois vetores no espaço também é um vetor no espaço.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: O produto de um escalar por um vetor no espaço produz outro vetor no espaço.
  • Existência do vetor zero: Existe um vetor no espaço que se comporta como um elemento identidade para a soma.
  • Existência de inversos aditivos: Para cada vetor no espaço, existe outro vetor que, quando somado a ele, resulta no vetor zero.

Independência linear, base e dimensão

Agora, vamos analisar alguns conceitos avançados importantes para compreender espaços vetoriais:

Independência linear

Um conjunto de vetores é chamado de linearmente independente se nenhum vetor no conjunto puder ser escrito como uma combinação linear de outros vetores. Por exemplo, vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes se:

c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 = 0

Isso é aplicável somente se c1 = c2 = c3 = 0.

Base

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que abrange todo o espaço vetorial. Com uma base, você pode expressar qualquer vetor no espaço como uma combinação linear dos vetores base.

Dimensões

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Por exemplo, qualquer base do plano (um espaço vetorial bidimensional) conterá 2 vetores.

Transformações lineares

Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Se T: V -> W é uma transformação linear, e u, v são vetores em V e c é um escalar, então o seguinte deve ser verdadeiro:

  • T(u + v) = T(u) + T(v)
  • T(c * u) = c * T(u)

Cada transformação linear pode ser representada por uma matriz, e compreender essas transformações pode simplificar enormemente problemas matemáticos complexos.

Núcleo e imagem

Vamos discutir o núcleo e a imagem, que são conceitos importantes para compreender transformações lineares:

Núcleos

O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores v em V tal que T(v) = 0 é um subespaço do domínio do núcleo.

Imagem

A imagem de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como T(v) para algum vetor v em V. A imagem é um subespaço do codomínio.

Autovetores e autovalores

Autovetores e autovalores são conceitos frequentemente usados em álgebra linear, especialmente ao trabalhar com transformações matriciais.

Autovetores

O autovetor de uma matriz A é um vetor v tal que, quando A é multiplicado por v, o produto é um múltiplo escalar de v. Pode ser escrito como:

A * v = λ * v

onde λ é o autovalor associado ao autovetor v.

Autovalor

O autovalor é um escalar λ correspondente ao autovetor v, de forma que a equação A * v = λ * v seja válida. Para encontrar o autovalor, resolvemos a equação característica:

det(A - λI) = 0

onde I é a matriz identidade da mesma dimensão que A

Aplicações da álgebra linear

A álgebra linear tem amplas aplicações em vários campos:

  • Gráficos de computador: Para a transformação e representação de objetos 3D.
  • Aprendizado de máquina: Modelos lineares e redes neurais.
  • Estatísticas: Descrever grandes conjuntos de pontos de dados através de métodos como PCA.
  • Engenharia: Para sistemas de controle, processamento de sinais, etc.
  • Física: Mecânica quântica, onde operadores lineares desempenham um papel essencial.

Este é apenas um vislumbre do vasto conteúdo e profundidade da álgebra linear. Esta disciplina é a base dos avanços científicos e tecnológicos modernos, destacando sua importância e a necessidade de uma compreensão completa.


Pós-graduação → 2.4


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (2.3.4)
Sequência exata em módulos
Próximo (2.4.1) →
Espaço vetorial

Comentários 



Álgebra linear

https://www.buddymath.com/g/2.4?bmal=pt