रेखीय बीजगणित

रेखीय बीजगणित आधुनिक गणित और विज्ञान, इंजीनियरिंग और कई अन्य क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोगों का एक आधारशिला है। यह सदिशों, आव्यूहों, सदिश स्थानों और रेखीय रूपांतरणों से संबंधित है। भले ही यह बुनियादी अवधारणाओं के साथ शुरू होने वाली एक शाखा है, इसके निहितार्थ विशाल और शक्तिशाली हैं, जिसके कारण यह स्नातक गणितीय अध्ययन में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, एक महत्वपूर्ण विषय बन गया है।

मूल अवधारणाएँ

रेखीय बीजगणित में, हम सरल लेकिन शक्तिशाली संरचनाएं समझने से शुरू करते हैं जिन्हें सदिश और आव्यूह कहा जाता है। आइए उन्हें परिभाषित करें:

सदिश

सदिश मुख्यतः संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होती है। हम इसे स्थान में एक बिंदु के रूप में समझ सकते हैं, जहां प्रत्येक संख्या एक अक्ष पर निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करती है। द्वि-आयामी स्थान में एक सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

V = [x, y]

उदाहरण के लिए, एक सदिश [3, 4] हो सकता है। यह 2D स्थान में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जो x-अक्ष के साथ 3 इकाइयों और y-अक्ष के साथ 4 इकाइयों पर है।

आव्यूह

आव्यूह संख्याओं का एक आयताकार सरणी होता है, जिसे सदिशों के संग्रह को प्रदर्शित करने या रूपांतरणों का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। दो पंक्तियों और दो स्तंभों वाला आव्यूह इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:

A = [[a, b],
     [c, d]]

उदाहरण के लिए, एक आव्यूह इस प्रकार दिखता है:

A = [[1, 2],
     [3, 4]]

इस आव्यूह में दो पंक्तियाँ और दो स्तंभ होते हैं, जिन्हें अक्सर 2x2 आव्यूह कहा जाता है।

सदिशों और आव्यूहों पर चालें

ऐसी कई महत्वपूर्ण क्रियाएँ हैं जो हम सदिशों और आव्यूहों के साथ कर सकते हैं, जिनमें जोड़, स्केलर गुणन और महत्वपूर्ण आव्यूह गुणन शामिल हैं। इन चालों को समझने के लिए, आइए उन्हें एक-एक करके देखें:

सदिश जोड़

दो सदिशों को जोड़ने में उनके संगत तत्वों का जोड़ शामिल होता है। यदि आपके पास दो सदिश हैं:

u = [u1, u2]
v = [v1, v2]

उनका योग, u + v, इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

u + v = [u1 + v1, u2 + v2]

उदाहरण के लिए, यदि u = [1, 3] और v = [4, 5], तो:

  u + v = [1 + 4, 3 + 5] = [5, 8]

स्केलर गुणन

स्केलर गुणन हर घटक को एक स्केलर (एकल संख्या) से गुणा करने में शामिल होता है। यदि c एक स्केलर है और v = [v1, v2] एक सदिश है, तो स्केलर गुणन c * v है:

c * v = [c * v1, c * v2]

यदि सदिश v = [2, 3] और स्केलर c = 4 है, तो क्रिया का परिणाम होगा:

  4 * [2, 3] = [8, 12]

आव्यूह गुणन

आव्यूह गुणन शायद रेखीय बीजगणित में सबसे जटिल चालों में से एक है, फिर भी यह मौलिक है। यदि A एक m x n आव्यूह है और B एक n x p आव्यूह है, तो उनका गुणनफल AB एक m x p आव्यूह होगा। AB के i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ में तत्व को इस प्रकार गणना किया जाता है:

(AB)_{ij} = Σ (A_{ik} * B_{kj})

उदाहरण: मान लीजिए A और B हैं:

  A = [[1, 2],
       [3, 4]]

  B = [[5, 6],
       [7, 8]]

गुणनफल AB इस प्रकार गणना किया जाता है:

  AB = [[(1*5 + 2*7), (1*6 + 2*8)],
        [(3*5 + 4*7), (3*6 + 4*8)]]

     = [[19, 22],
        [43, 50]]

सदिश स्थान

सदिश स्थान सदिशों का एक संग्रह होता है जिसे जोड़ा और संख्याओं, जिन्हें स्केलर कहा जाता है, से गुणा किया जा सकता है। स्केलर आमतौर पर वास्तविक संख्याएं होती हैं, लेकिन सम्मिश्र संख्याएं या अन्य संख्यात्मक क्षेत्र भी उपयोग में आ सकते हैं।

कुछ महत्वपूर्ण गुण जो सदिश स्थान को दर्शाते हैं, उनमें शामिल हैं:

जोड़ के तहत बंदन: स्थान के किसी भी दो सदिशों का योग भी उसी स्थान में सदिश होता है।
स्केलर गुणन के तहत बंदन: स्थान में किसी भी सदिश के साथ किसी भी स्केलर का गुणन फल उसी स्थान में अन्य सदिश उत्पन्न करता है।
शून्य सदिश का अस्तित्व: स्थान में एक ऐसा सदिश होता है जो योग के लिए पहचान तत्व की तरह व्यवहार करता है।
स्डिशक अंतर्विरोध का अस्तित्व: स्थान के प्रत्येक सदिश के लिए एक अन्य सदिश मौजूद होता है जो, जब साथ में जोड़ा जाता है, शून्य सदिश देगा।

रेखीय स्वतंत्रता, आधार और आयाम

अब, कुछ उन्नत अवधारणाओं पर नज़र डालते हैं जो सदिश स्थानों को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं:

रेखीय स्वतंत्रता

सदिशों का एक सेट रेखीय स्वतंत्र कहा जाता है अगर सेट में कोई सदिश अन्य सदिशों के रेखीय संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता। उदाहरण के लिए, सदिश v1, v2, और v3 रेखीय स्वतंत्र होते हैं यदि:

c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 = 0

यह केवल तभी लागू होता है जब c1 = c2 = c3 = 0।

आधार

किसी सदिश स्थान का आधार एक रेखीय स्वतंत्र सदिशों का सेट होता है जो संपूर्ण सदिश स्थान को फैलाता है। आधार के साथ, आप स्थान में किसी भी सदिश को आधार सदिशों के रेखीय संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

आयाम

किसी सदिश स्थान का आयाम उस स्थान के आधार में सदिशों की संख्या होती है। उदाहरण के लिए, विमान (एक द्वि-आयामी सदिश स्थान) के किसी भी आधार में 2 सदिश होते हैं।

रेखीय रूपांतरण

रेखीय रूपांतरण दो सदिश स्थानों के बीच एक क्रिया होती है जो सदिश जोड़ और स्केलर गुणन की क्रियाओं को बनाए रखता है। अगर T: V -> W एक रेखीय रूपांतरण है, और u, v V में सदिश हैं और c एक स्केलर है, तो निम्नलिखित घटनाएँ होनी चाहिए:

T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c * u) = c * T(u)

प्रत्येक रेखीय रूपांतरण को एक आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, और इन रूपांतरणों को समझना जटिल गणितीय समस्याओं को बहुत सरल कर सकता है।

कर्नल और इमेज

आइए कर्नल और इमेज पर चर्चा करें, जो रेखीय रूपांतरणों को समझने के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं:

कर्नल

किसी रेखीय रूपांतरण T का कर्नल वे सभी सदिशों v का सेट होता है जहाँ T(v) = 0 होता है, और यह कर्नल डोमेन का एक उपस्थान होता है।

इमेज

किसी रेखीय रूपांतरण T की इमेज वे सभी सदिशों का सेट होता है जिन्हें T(v) के रूप में लिखा जा सकता है और v के किसी सदिश के लिए यह V में होता है। इमेज कोडोमेन का एक उपस्थान होती है।

स्वतःसदिश और स्वतःमान

स्वतःसदिश और स्वतःमान ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनका उपयोग रेखीय बीजगणित में विशेष रूप से आव्यूह रूपांतरणों के साथ अक्सर किया जाता है।

स्वतःसदिश

किसी आव्यूह A का स्वतःसदिश वह सदिश v होता है जिसके साथ A से गुणा करने पर इसका फल उसी सदिश का स्वैकल गुण होता है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

A * v = λ * v

जहाँ λ स्वतःमान होता है जो स्वतःसदिश v के साथ जुड़ा होता है।

स्वतःमान

स्वतःमान एक स्केलर λ है जो स्वतःसदिश v के साथ मेल खाता है, इस प्रकार कि समीकरण A * v = λ * v मान्य है। स्वतःमान खोजने के लिए, हम विशिष्ट समीकरण को हल करते हैं:

det(A - λI) = 0

जहाँ I वही पहचान आव्यूह है जो A के समान आयाम का होता है।