Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Абстрактная алгебра → Линейная алгебра ↓


Векторное пространство с внутренним произведением


Векторные пространства с внутренним произведением являются центральным понятием в линейной алгебре. Они позволяют определить углы и длины в векторном пространстве, что позволяет нам обобщать евклидову геометрию для более абстрактных понятий. Это продвинутая тема в математике, особенно в курсах на уровне аспирантуры, где она часто изучается в контексте абстрактной алгебры. В этом уроке мы глубже изучим векторные пространства с внутренним произведением, объясняя основные концепции, их работу и важность через примеры и визуализации.

Определение векторных пространств с внутренним произведением

Векторное пространство с внутренним произведением — это векторное пространство с дополнительной структурой, называемой «внутренним произведением». Внутреннее произведение — это математическая операция, которая принимает два вектора из векторного пространства и возвращает скаляр. Внутреннее произведение должно удовлетворять определённым свойствам, что делает его мощным инструментом в геометрии и анализе.

Пусть V будет векторным пространством над полем действительных чисел R или комплексных чисел C. Внутреннее произведение на V — это функция:

⟨·,·⟩: V × V → R или C,

Такая, что, для всех u, v, w ∈ V и всех скаляров a ∈ R (или C), выполняются следующие свойства:

  1. Симметрия сопряжения: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩̅ (черта сверху обозначает комплексное сопряжение).
  2. Линейность по первому аргументу: ⟨au + v, w⟩ = a⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩.
  3. Положительная определённость: ⟨v, v⟩ ≥ 0 равенство достигается, если и только если v является нулевым вектором.

Выход внутреннего произведения вектора с самим собой, ⟨v, v⟩, можно рассматривать как «квадрат длины» v. Квадратный корень из этого значения даёт нам норму (или длину) вектора, обозначаемую как ||v||.

Примеры векторных пространств с внутренним произведением

Реальные координатные пространства R^n

В евклидовом пространстве R^n стандартное внутреннее произведение задаётся скалярным произведением:

⟨u, v⟩ = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n,

Для u = (u_1, u_2, ..., u_n) и v = (v_1, v_2, ..., v_n). Этот классический пример соответствует всем свойствам внутреннего произведения:

Пример: Рассмотрим векторы u = (1, 2, 3) и v = (4, 5, 6). Внутреннее произведение ⟨u, v⟩ равно:

⟨u, v⟩ = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32
(0,0) (1,2,3) (4,5,6)

Комплексное векторное пространство C^n

В комплексном векторном пространстве C^n стандартное внутреннее произведение для комплексного сопряжения немного отличается:

⟨u, v⟩ = u_1̅v_1 + u_2̅v_2 + ... + u_n̅v_n,

где u_1̅, u_2̅, ..., u_n̅ — это комплексные сопряжения u_1, u_2, ..., u_n.

Пример: Рассмотрим векторы u = (1 + i, 2, 3 - i) и v = (4, 5 - i, 6 + i). Внутреннее произведение ⟨u, v⟩ равно:

⟨u, v⟩ = (1 – i)4 + 2(5 + i) + (3 + i)(6 – i)
= 4 - 4i + 10 + 2i + 18 + 3i + i^2
= 32 + i – 1 = 31 + i

Применения векторных пространств с внутренним произведением

Ортогональность

Два вектора u и v во внутреннем производственном пространстве называются ортогональными, если их внутреннее произведение равно нулю:

⟨u,v⟩ = 0.

Ортогональность является обобщением перпендикулярных векторов в евклидовом пространстве. Она играет важную роль в различных приложениях, включая проекцию и оптимизацию.

U V

На этой диаграмме векторы u и v перпендикулярны, потому что они пересекаются под углом 90 градусов, что символизирует нулевое внутреннее произведение.

Проекция

В пространстве с внутренним произведением проекция вектора v на другой вектор u определяется как:

proj_u(v) = ⟨v, u⟩ / ⟨u, u⟩ * u.

Эта формула даёт нам компоненту v, направленную в направлении u. Проекции являются важными в методах, таких как наименьшие квадраты и других техниках аппроксимации.

Пример: Рассмотрим векторы u = (1, 0) и v = (3, 4) в R^2. Проекция v на u равна:

proj_u(v) = ⟨(3, 4), (1, 0)⟩ / ⟨(1, 0), (1, 0)⟩ * (1, 0)
= 3 / 1 * (1, 0) = (3, 0)

Свойства внутреннего произведения

Линейность

Внутреннее произведение является линейным по своему первому аргументу, что означает, что для любых векторов u, v, w и скаляра a выполняется следующее:

⟨au + v, w⟩ = a⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩.

Симметрия сопряжения

Внутреннее произведение удовлетворяет свойству симметрии сопряжения, что означает, что порядок, в котором вы берёте внутреннее произведение, имеет значение, особенно в комплексных пространствах:

⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩̅.

Нормы, индуцированные внутренним произведением

Внутреннее произведение индуцирует норму на векторе. Норма вектора v определяется как квадратный корень из внутреннего произведения вектора с самим собой:

||v|| = sqrt(⟨v, v⟩).

Она ведёт себя как обобщённая длина стандартных векторов и удовлетворяет таким свойствам, как положительность, масштабируемость и неравенство треугольника.

Давайте посмотрим на практический пример:

Пример: Пусть v = (3, 4) в R^2. Значение v равно:

||v|| = sqrt(⟨(3, 4), (3, 4)⟩)
= sqrt(3^2 + 4^2)
= корень квадратный(25) = 5

Углы в пространстве внутреннего произведения

Векторные пространства с внутренним произведением также позволяют нам определять углы между векторами. Косинус угла θ между двумя ненулевыми векторами u и v определяется как:

cos(θ) = ⟨u, v⟩ / (||u|| * ||v||).

Это уравнение показывает, как угол связан с внутренним произведением, давая геометрическое толкование отношений между векторами.

Заключение

Векторные пространства с внутренним произведением обогащают векторные пространства с геометрической структурой, позволяя нам распространять ключевые геометрические концепции, такие как ортогональность, длина и угол, на абстрактные настройки. Они играют ключевую роль в различных областях, включая квантовую механику, обработку сигналов и оптимизацию. Изучая векторные пространства с внутренним произведением с использованием обсуждаемых свойств и примеров, вы получаете более глубокое восприятие и понимание красоты и полезности этой математической структуры.


Магистратура → 2.4.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (2.4.2)
Собственные значения и собственные векторы
следующая (2.4.4) →
Диагонализация

комментарии 



Векторное пространство с внутренним произведением

https://www.buddymath.com/g/2.4.3?bmal=ru