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आंतरित गुणनफल का स्थान
आंतरित गुणनफल स्थाने रैखिक बीजगणित का एक केंद्रीय अवधारणा है। वे हमें एक सदिश स्थान में कोणों और लंबाईयों को परिभाषित करने का तरीका प्रदान करते हैं, जो हमें यूक्लिडियन ज्यामिति को अधिक अमूर्त स्थिति में सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है। यह गणित का एक उन्नत विषय है, विशेष रूप से स्नातकोत्तर स्तर के पाठ्यक्रमों में, जहां इसे अक्सर अमूर्त बीजगणित के संदर्भ में अध्ययन किया जाता है। इस पाठ में, हम आंतरित गुणनफल स्थानों में गहराई से जाएँगे, प्रमुख अवधारणाओं की व्याख्या करेंगे, वे कैसे काम करते हैं, और उनके महत्व को उदाहरणों और दृष्टांतों के माध्यम से समझेंगे।
आंतरित गुणनफल स्थानों की परिभाषा
एक आंतरित गुणनफल स्थान एक सदिश स्थान होता है, जिसमें एक अतिरिक्त संरचना होती है जिसे "आंतरित गुणनफल" कहा जाता है। यह आंतरित गुणनफल एक गणितीय संचालन है जो एक सदिश स्थान से दो सदिशों को लेता है और एक अदिश वापस करता है। आंतरित गुणनफल को कुछ गुणों को संतुष्ट करना चाहिए, जो इसे ज्यामिति और विश्लेषण में एक प्रभावी उपकरण बनाता है।
मान लीजिए V एक सदिश स्थान है, जो वास्तविक संख्या R या परिसंख्य संख्या C के क्षेत्र पर है। V पर एक आंतरित गुणनफल एक क्रिया है:
⟨·,·⟩: V × V → R या C,
ऐसा कि, सभी u, v, w ∈ V और सभी अदिश a ∈ R (या C) के लिए, निम्नलिखित गुण उपस्थित हों:
- संयुक्त सममिति:
⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩̅(रैखा परिसंख्या समकरण वर्णन के लिए बार उपयोग होता है)। - पहले तर्क में रैखिकता:
⟨au + v, w⟩ = a⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩। - धनात्मक-निर्धारकता:
⟨v, v⟩ ≥ 0, समानता केवल तभी होगी जबvशून्य सदिश हो।
किसी सदिश के साथ स्वयं का आंतरित गुणनफल, ⟨v, v⟩, को v की "लंबाई का वर्ग" समझा जा सकता है। इस मूल्य का वर्गमूल हमें सदिश का मापांक (या लंबाई) देता है, जिसे ||v|| के रूप में लिखा जाता है।
आंतरित गुणनफल स्थानों के उदाहरण
वास्तविक निर्देशांक स्थान R^n
यूक्लिडियन स्थान R^n में, पारंपरिक आंतरित गुणनफल बिंदु गुणनफलक से दिया जाता है:
⟨u, v⟩ = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n,
जहाँ u = (u_1, u_2, ..., u_n) और v = (v_1, v_2, ..., v_n) हैं। यह पारंपरिक उदाहरण आंतरित गुणनफल के सभी गुणों को पूरा करता है:
उदाहरण: विचार करें कि u = (1, 2, 3) और v = (4, 5, 6) सदिश हैं। आंतरित गुणनफल ⟨u, v⟩ है:
⟨u, v⟩ = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32
परिसंख्या सदिश स्थान C^n
एक परिसंख्या सदिश स्थान C^n में, परिसंख्या संगति के लिए पारंपरिक आंतरित गुणनफल थोड़ा भिन्न होता है:
⟨u, v⟩ = u_1̅v_1 + u_2̅v_2 + ... + u_n̅v_n,
जहाँ u_1̅, u_2̅, ..., u_n̅ u_1, u_2, ..., u_n के परिसंख्या संगति होते हैं।
उदाहरण: विचार करें कि u = (1 + i, 2, 3 - i) और v = (4, 5 - i, 6 + i) सदिश हैं। आंतरित गुणनफल ⟨u, v⟩ है:
⟨u, v⟩ = (1 – i)4 + 2(5 + i) + (3 + i)(6 – i)
= 4 - 4i + 10 + 2i + 18 + 3i + i^2
= 32 + i – 1 = 31 + i
आंतरित गुणनफल स्थानों के अनुप्रयोग
लंबवत्ता
दो सदिश u और v आंतरित गुणनफल स्थान में तब लंबवत कहलाते हैं जब उनका आंतरित गुणनफल शून्य हो:
⟨u,v⟩ = 0।
लंबवत्ता यूक्लिडियन स्थान में लंववत सदिशों का एक सामान्यीकरण है। यह विभिन्न अनुप्रयोगों में महत्त्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जिनमें प्रक्षेप के साथ ही अनुकूलन शामिल हैं।
इस आरेख में, सदिश u और v लंबवत हैं क्योंकि वे 90 डिग्री पर मिलते हैं, जो शून्य आंतरित गुणनफल का प्रतीक है।
प्रक्षेपण
आंतरित गुणनफल स्थान में किसी सदिश v को दूसरे सदिश u पर प्रक्षेपण निम्न प्रकार परिभाषित होता है:
proj_u(v) = ⟨v, u⟩ / ⟨u, u⟩ * u।
यह सूत्र हमें v के उस घटक को देता है जो u की दिशा में इंगित करता है। प्रक्षेपण महत्वपूर्ण होते हैं जैसे कि न्यूनतम वर्ग विधियां और अन्य अनुमान तकनीकें।
उदाहरण: विचार करें u = (1, 0) और v = (3, 4) इससे R^2 में। u पर v का प्रक्षेपण है:
proj_u(v) = ⟨(3, 4), (1, 0)⟩ / ⟨(1, 0), (1, 0)⟩ * (1, 0)
= 3 / 1 * (1, 0) = (3, 0)
आंतरित गुणनफल के गुण
रैखिकता
आंतरित गुणनफल पहले तर्क में रैखिक होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सदिश u, v, w और अदिश a के लिए, यह निम्न प्रकार होता है:
⟨au + v, w⟩ = a⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩।
संयुक्त सममिति
आंतरित गुणनफल संयुक्त सममिति गुण संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि आप किस क्रम में आंतरित गुणनफल लेते हैं, इसका विशेष रूप से परिसंख्यक स्थानों में पात्रता होती है:
⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩̅।
आंतरित गुणनफल द्वारा निर्धारण मापांक
आंतरित गुणनफल सदिश स्थान पर एक मापांक उत्पन्न करता है। एक सदिश v का मापांक सदिश के साथ خود का आंतरित गुणनफल के वर्गमूल के द्वारा परिभाषित होता है:
||v|| = sqrt(⟨v, v⟩)।
यह लंबाई की तरह सामान्य व्यवहार करता है और गुणों जैसे कि धनात्मकता, विकर्णता, और त्रिकोण असमाकल्य का पालन करता है।
आइए एक व्यावहारिक पाठ उदाहरण देखें:
उदाहरण: मान लीजिए v = (3, 4) R^2 में। v का मान है:
||v|| = sqrt(⟨(3, 4), (3, 4)⟩)
= sqrt(3^2 + 4^2)
= वर्गमूल(25) = 5
आंतरित गुणनफल स्थान में कोण
आंतरित गुणनफल स्थान भी हमें सदिशों के बीच कोण परिभाषित करने की अनुमति देते हैं। दो गैर-शून्य सदिश u और v के बीच कोण θ का कोसाइन निम्न प्रकार दिया गया है:
cos(θ) = ⟨u, v⟩ / (||u|| * ||v||)।
यह समीकरण दर्शाता है कि कोण आंतरित गुणनफल से कैसे संबंधित है, जो सदिश संबंधों की ज्यामितीय व्याख्या प्रदान करता है।
निष्कर्ष
आंतरित गुणनफल स्थान सदिश स्थानों को ज्यामितीय संरचना से समृद्ध करते हैं, जिससे हमें प्रमुख ज्यामितीय अवधारणाओं जैसे कि लंबवत्ता, लंबाई, और कोण को अमूर्त सेटिंग्स में विस्तारित करने की अनुमति मिलती है। वे कई क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिनमें क्वांटम यांत्रिकी, संकेत प्रसंस्करण, और अनुकूलन शामिल हैं। आंतरित गुणनफल स्थानों का अध्ययन करते समय वर्णित गुणों और उदाहरणों का उपयोग करके, एक इस गणितीय ढांचे की सुंदरता और उपयोगिता के प्रति एक गहरी सराहना और समझ प्राप्त करता है।
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