特征值和特征向量

在线性代数领域，特征值和特征向量在包括量子力学、振动分析、人脸识别系统等许多应用中具有深远意义。理解这些概念可以非常有益，在本文中，我们将使用简单的英语深入讨论这一主题。

什么是特征值和特征向量？

在最基本的层面上，“特征”一词可以被视为意为“特性”或“独特”。因此，矩阵的特征向量是在相应线性变换下方向不变的向量。简单地说，如果我们有一个由矩阵表示的变换，特征向量将仅仅被这种变换进行缩放。

我们将缩放因子称为“特征值”。用数学术语来说，如果A是一个由方阵表示的线性变换，v是一个向量，λ（lambda）是一个标量，那么表示这个概念的方程是：

A * v = λ * v

其中：

A是一个方阵。
v是特征向量。
λ是特征值。

求解特征值和特征向量

求解特征值和特征向量的过程涉及求解以下方程：

A * v = λ * v

重写后为：

A * V - λ * I * V = 0

其中I是与A维度相同的单位矩阵，我们可以将其分解为：

(A - λ * I) * V = 0

为了解这个问题，我们寻找非零v，这需要：

det(A - λ * I) = 0

这个方程被称为矩阵A的“特征方程”。解决这个方程可以得到λ（特征值）的值。一旦确定特征值，可以使用以下方法找到相应的特征向量：

(A - λ * I) * V = 0

示例1：一个简单的2x2矩阵

考虑以下矩阵：

A = | 1 2 |
    | 2 1 |

我们想找到它的特征值和特征向量。特征方程如下：

det(A - λ * I) = 0

代入矩阵A，得到：

| 1 - λ 2 |
| 2 1 - λ |

行列式为：

(1-λ)(1-λ) - 2*2 = λ² - 2λ - 3

求解为零给出特征值：

λ² - 2λ - 3 = 0 => (λ-3)(λ+1) = 0

因此，λ = 3 和 λ = -1

接下来，我们为每个特征值找到特征向量。

λ = 3的特征向量

代入λ：

(A - λ * I) * V = 0

使用λ = 3：

| 1 - 3 2 | | x | = | 0 |
| 2 1-3 | | y | | 0 |

|-2 2| | x | = | 0 |
| 2 -2| | y | | 0 |

这给出以下方程：

-2x + 2y = 0
2x-2y=0

从中我们得出x = y（多重解，任何向量如[1, 1]是一个特征向量）

λ = -1的特征向量

代入λ：

| 1-(-1) 2 | | x | = | 0 |
| 2 1-(-1)| | y | | 0 |

| 2 2 | | x | = | 0 |
| 2 2 | | and | | 0 |

这给出方程：

2x + 2y = 0

因此解为x = -y（一个像[1, -1]的向量成为特征向量）。

几何解释

为了更好地理解特征值和特征向量的作用，想象一个对象正在变换。想象一个二维向量空间，其中矩阵变换被应用于一个形状，如椭圆。每个特征向量都是一个方向，在该方向上变换表现为简单的缩放（由特征值），而不改变向量的方向。

在上图中，红色和蓝色的线表示特征向量。在生成矩阵的变换作用下，这些线上的点将仅被缩放，而不被旋转。