Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Абстрактная алгебра → Линейная алгебра ↓


Собственные значения и собственные векторы


В области линейной алгебры собственные значения и собственные векторы имеют глубокое значение во многих приложениях в различных областях, включая квантовую механику, анализ вибраций, системы распознавания лиц и многое другое. Понимание этих концепций может быть крайне полезным, и в этой статье мы подробно обсудим эту тему, используя простой английский язык.

Что такое собственные значения и собственные векторы?

На самом базовом уровне термин «собственный» можно рассматривать как означающий «характерный» или «своеобразный». Таким образом, собственный вектор матрицы — это вектор, который не меняет своего направления при соответствующем линейном преобразовании. Говоря простыми словами, если у нас есть преобразование, представленное матрицей, собственный вектор будет только масштабироваться этим преобразованием.

Мы называем масштабный фактор 'собственным значением'. В математических терминах, если A — это линейное преобразование, представленное квадратной матрицей, v — вектор, а λ (лямбда) — скаляр, тогда уравнение, которое представляет эту концепцию, выглядит так:

A * v = λ * v

Где:

  • A — квадратная матрица.
  • v — собственный вектор.
  • λ — собственное значение.

Нахождение собственных значений и собственных векторов

Процесс нахождения собственных значений и собственных векторов включает решение следующего уравнения:

A * v = λ * v

Переписывая, мы получаем:

A * v - λ * I * v = 0

где I — единичная матрица такой же размерности, как и A. Мы можем разложить это следующим образом:

(A - λ * I) * v = 0

Чтобы решить это, мы ищем ненулевые v, что требует:

det(A - λ * I) = 0

Это уравнение называется 'характеристическим уравнением' матрицы A. Решение этого уравнения дает значения λ (собственные значения). Когда собственные значения определены, соответствующие собственные векторы могут быть найдены, используя:

(A - λ * I) * v = 0

Пример 1: простая матрица 2x2

Рассмотрим матрицу:

A = | 1 2 |
    | 2 1 |

Мы хотим найти её собственные значения и собственные векторы. Характеристическое уравнение выглядит следующим образом:

det(A - λ * I) = 0

Подставляя матрицу A, мы получаем:

| 1 - λ 2 |
| 2 1 - λ |

Детерминант равен:

(1-λ)(1-λ) - 2*2 = λ² - 2λ - 3

Решая для нуля, мы получаем собственные значения:

λ² - 2λ - 3 = 0 => (λ-3)(λ+1) = 0

Таким образом, λ = 3 и λ = -1

Далее найдем собственные векторы для каждого собственного значения.

Собственные векторы для λ = 3

Подставим λ:

(A - λ * I) * v = 0

Используя λ = 3:

| 1 - 3 2 | | x | = | 0 |
| 2 1-3 | | y | | 0 |

|-2 2| | x | = | 0 |
| 2 -2| | y | | 0 |

Это дает следующие уравнения:

-2x + 2y = 0
2x-2y=0

Из этого мы заключаем, что x = y (несколько решений, любой вектор, такой как [1, 1], является собственным вектором)

Собственные векторы для λ = -1

Подставим λ:

| 1-(-1) 2 | | x | = | 0 |
| 2 1-(-1)| | y | | 0 |

| 2 2 | | x | = | 0 |
| 2 2 | | и | | 0 |

Это дает уравнение:

2x + 2y = 0

Таким образом, решение — x = -y (вектор типа [1, -1] становится собственным вектором).

Геометрическая интерпретация

Чтобы лучше понять, как работают собственные значения и собственные векторы, представьте себе объект, подвергаемый преобразованию. Представьте 2D пространство векторов, где матричное преобразование применяется к форме, такой как эллипс. Каждый собственный вектор - это направление, вдоль которого преобразование действует просто как масштабирование (по собственному значению), не изменяя направление вектора.

V1 V2

На изображении выше красные и синие линии представляют собственные векторы. Под преобразованием (действием матрицы) точки вдоль этих линий будут только масштабироваться, не вращаться.

Применения собственных значений и собственных векторов

Собственные значения и собственные векторы используются в нескольких крупных приложениях:

1. Анализ стабильности

Анализ собственных значений помогает понять динамическую стабильность в системах. Например, инженеры полагаются на собственные векторы и собственные значения, чтобы гарантировать, что структура способна выдерживать действия во время проектирования процессов.

2. Метод главных компонент (PCA)

Широко используется в анализе данных, PCA использует собственные значения и собственные векторы, чтобы определить главные компоненты в наборе данных, тем самым помогая в уменьшении размерности и извлечении признаков.

3. Анализ вибраций

В механических конструкциях оценка мод вибраций важна для безопасности. Собственные значения могут определить собственные частоты структур, помогая предсказать потенциальные резонансы.

Заключение

Собственные значения и собственные векторы предоставляют замечательные знания как с математической, так и с практической точек зрения. Способность оптимально масштабироваться или резонировать в математических пространствах - это красота, которая приглашает к продолжению изучения и исследования. От трансформации сложных наборов данных до стабилизации огромных структур, применение этих концепций линейной алгебры обширно и важно.


Магистратура → 2.4.2


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (2.4.1)
Векторное пространство
следующая (2.4.3) →
Векторное пространство с внутренним произведением

комментарии 



Собственные значения и собственные векторы

https://www.buddymath.com/g/2.4.2?bmal=ru