Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Абстрактная алгебра → Линейная алгебра ↓


Векторное пространство


Векторные пространства являются фундаментальными концепциями в линейной алгебре, которая сама по себе является важной частью математики. Они служат основой для понимания решений систем линейных уравнений, геометрических преобразований и многого другого. В этом объяснении мы углубимся в то, что такое векторные пространства, как они структурированы и почему они важны.

Основное определение векторного пространства

Векторное пространство — это совокупность объектов, называемых векторами, которые могут складываться между собой и умножаться на скаляры, где скаляры — это числа. Набор скаляров обычно представляют собой действительные числа, но это может быть любое поле, например, комплексные числа.

Компоненты векторного пространства

Давайте разберем основные компоненты векторного пространства:

  • Векторы: Это элементы векторного пространства. Например, в векторном пространстве (mathbb{R}^3) векторы являются упорядоченными троиками действительных чисел.
  • Скаляры: Скаляры принадлежат полю, часто это множество действительных чисел (mathbb{R}) или комплексных чисел (mathbb{C}).
  • Сложение: Векторы могут складываться между собой. Например, в (mathbb{R}^2), если u = (u_1, u_2) и v = (v_1, v_2), то их сумма равна u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2).
  • Умножение на скаляр: Векторы могут умножаться на скаляры. Например, если u = (u_1, u_2) и c — скаляр, то c cdot u = (c cdot u_1, c cdot u_2).

Операции сложения векторов и умножения на скаляр должны удовлетворять определенным аксиомам, которые мы рассмотрим вскоре.

Аксиомы векторных пространств

Множество V с двумя операциями, сложением векторов и умножением на скаляр, называется векторным пространством над полем (F), если для всех векторов u, v, w in V и скаляров c, d in F выполнены следующие аксиомы:

  1. Сложение коммутативно: u + v = v + u.
  2. Сложение ассоциативно: (u + v) + w = u + (v + w).
  3. Существует аддитивная единица 0, такая что u + 0 = u для всех u.
  4. Для каждого u существует аддитивный обратный -u, такой что u + (-u) = 0.
  5. Совместимо с умножением на скаляр: c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v.
  6. Совместимо с умножением на скаляр: (c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u.
  7. Ассоциативность умножения на скаляр: (c cdot d) cdot u = c cdot (d cdot u).
  8. Единичный элемент умножения на скаляр: 1 cdot u = u, где 1 — мультипликативная единица в F

Пример: Векторное пространство (mathbb{R}^2)

Обычно приводимым примером векторного пространства является (mathbb{R}^2), множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Это векторное пространство над действительными числами с обычными операциями сложения векторов и умножения на скаляр.

Чтобы визуализировать это, представьте двумерную плоскость, где каждая точка — это вектор. Например, в (mathbb{R}^2) можно получить другой вектор, соединяя точки (1,2) и (3,4): (1+3, 2+4) = (4,6).

(1,2) (3,4) (4,6)

Нулевой вектор

Каждое векторное пространство должно иметь нулевой вектор (аддитивную единицу), который является уникальным. Это вектор, который при сложении с любым вектором в пространстве оставляет другой вектор неизменным, что то же самое, что и ноль в обычной арифметике.

Подпространства и порождающие множества

Подпространства — это подмножества векторных пространств, которые сами являются векторными пространствами с теми же операциями. Если W — это подмножество V, и W закрыто относительно сложения векторов и умножения на скаляр, то W является подпространством V.

Порождающее множество — это множество векторов, которые могут быть комбинированы (путем сложения и умножения на скаляр) для получения любого вектора в векторном пространстве. Если каждый элемент векторного пространства V можно записать как линейную комбинацию векторов из некоторого множества S, то S порождает V.

Визуализация подпространств

Рассмотрим (mathbb{R}^2). Прямая через начало координат, такая как span{(1,0)}, является подпространством. Когда вы визуализируете эту прямую, вы можете увидеть, как она порождает подпространство (mathbb{R}^2).

Линия через (1,0)

Линейная независимость и базис

Множество векторов линейно независимо, если ни один из векторов в этом множестве не может быть выражен как комбинация других векторов. Если вы не можете выразить ни один вектор в множестве в виде линейной комбинации других векторов, то все векторы дают уникальные направления в пространстве.

Базис векторного пространства — это линейно независимое множество векторов, которое порождает пространство. В (mathbb{R}^2) обычным базисом является {(1,0), (0,1)}. Любой другой базис будет иметь два линейно независимых вектора, которые порождают пространство.

Размерность векторных пространств

Размерность векторного пространства — это количество векторов в любом базисе этого пространства. Например, (mathbb{R}^2) имеет размерность 2, потому что в каждом базисе точно два вектора.

Заключение

Векторные пространства и их свойства составляют основу линейной алгебры. Понимание векторных пространств обеспечивает необходимое понимание для решения реальных задач, в которых задействованы векторы, таких как компьютерная графика, квантовая механика и многое другое.


Магистратура → 2.4.1


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (2.4)
Линейная алгебра
следующая (2.4.2) →
Собственные значения и собственные векторы

комментарии 



Векторное пространство

https://www.buddymath.com/g/2.4.1?bmal=ru