ベクトル空間

ベクトル空間は線形代数の基本的な概念であり、線形代数自体は数学の不可欠な部分です。これらは線形方程式系の解を理解し、幾何変換などの枠組みとして機能します。この説明では、ベクトル空間とは何か、どのように構造化されているのか、そしてなぜ重要なのかを詳しく見ていきます。

ベクトル空間の基本的定義

ベクトル空間はベクトルと呼ばれるオブジェクトの集合であり、これらは加算されたり、スカラーという数によって乗算されたりすることができます。スカラーの集合はしばしば実数ですが、複素数などの任意の体であることもあります。

ベクトル空間の構成要素

ベクトル空間の基本的な構成要素を分解してみましょう：

• ベクトル: これらはベクトル空間の要素です。例えば、ベクトル空間 (mathbb{R}^3) では、ベクトルは実数の順序付き三組です。
• スカラー: スカラーは通常、実数の集合 (mathbb{R})、または複素数の集合 (mathbb{C}) に属します。
• 加算: ベクトルは加算されることができます。例えば、(mathbb{R}^2) では、u = (u_1, u_2) と v = (v_1, v_2) の場合、その和は u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) です。
• スカラー乗算: ベクトルはスカラーによって乗算することができます。例えば、u = (u_1, u_2) と c がスカラーである時、c cdot u = (c cdot u_1, c cdot u_2) です。

ベクトルの加算とスカラー乗算の操作は、特定の公理を満たさなければなりません。これについては後ほど説明します。

ベクトル空間の公理

二つの操作、すなわちベクトルの加算とスカラー乗算を持つ集合 V が体 (F) 上のベクトル空間と呼ばれるのは、以下の公理がすべてのベクトル u, v, w in V とスカラー c, d in F に対して成立する場合です：

1. 加算は可換である: u + v = v + u。
2. 加算は結合法則を満たす: (u + v) + w = u + (v + w)。
3. 加法単位元 0 があり、全ての u について u + 0 = u となる。
4. 全ての u には加法逆元 -u があり、u + (-u) = 0 となる。
5. スカラー乗算との互換性: c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v。
6. スカラー乗算との互換性: (c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u。
7. スカラー乗算の結合法則: (c cdot d) cdot u = c cdot (d cdot u)。
8. スカラー乗算の単位元: 1 cdot u = u、ここで 1 は F の乗法単位元です。

例: ベクトル空間 (mathbb{R}^2)

典型的なベクトル空間の例として、すべての実数の順序付きペアの集合である (mathbb{R}^2) があります。これは実数上のベクトル空間であり、通常のベクトル加算とスカラー乗算の操作があります。

これを視覚化するには、各点がベクトルである2次元平面を想像してください。例えば (mathbb{R}^2) では、点 (1,2) と (3,4) を結ぶことで別のベクトルを得ることができます: (1+3, 2+4) = (4,6)。

零ベクトル

すべてのベクトル空間は、加法単位元である零ベクトルを持っている必要があり、これは唯一のものです。これは、ベクトル空間内の任意のベクトルに加算しても結果として元のベクトルが変わらないベクトルであり、普通の算術におけるゼロと同じです。

部分空間と張る集合

部分空間は、その同じ演算の下で自体がベクトル空間であるベクトル空間の部分集合です。もし W が V の部分集合であり、ベクトル加算とスカラー乗算に関して閉じている (加算とスカラー乗算に対して閉じている場合には、次のように表記される) 場合には、W は V の部分空間です。

ある集合がベクトル全体を生成することができる (加算とスカラー乗算を通じて) 場合には、そのベクトル空間に対して張る集合といいます。ベクトル空間 V の各要素があるベクトル S の線形結合として表現できる場合には、S は V を張ります。

部分空間の視覚化

(mathbb{R}^2) を考えてみましょう。原点を通る直線、例えば span{(1,0)} は部分空間です。直線を視覚化すると、(mathbb{R}^2) の部分空間をどのように張ることができるかがわかります。

線形独立と基底

一組のベクトルが線形独立であるとは、そのセット内のどのベクトルも他のベクトルの結合として表現できない場合です。集合内のどのベクトルも他のベクトルの線形結合として表現できない場合には、すべてのベクトルは空間における独自の方向を示しています。

ベクトル空間の基底は、その空間を張る線形独立なベクトルの集合です。(mathbb{R}^2) では、一般的な基底として {(1,0), (0,1)} があります。他の基底も空間を張る2つの線形独立なベクトルを持っています。

ベクトル空間の次元

ベクトル空間の次元は、その空間の任意の基底内のベクトルの数です。例えば、(mathbb{R}^2) は次元が2であり、どの基底にも正確に2つのベクトルがあります。

結論

ベクトル空間とその性質は線形代数の基礎を形成します。ベクトル空間を理解することは、コンピュータグラフィックスや量子力学など、ベクトルが関与する現実世界の問題を解決するための重要な洞察を提供します。

コメント