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वेक्टर अंतरिक्ष
वेक्टर अंतरिक्ष रैखिक बीजगणित की मूलभूत अवधारणाएं हैं, जो स्वयं गणित का एक अनिवार्य हिस्सा है। वे रैखिक समीकरणों की प्रणालियों, ज्यामितीय रूपांतरणों और बहुत कुछ समझने के लिए एक ढांचा प्रदान करते हैं। इस व्याख्या में, हम देखेंगे कि वेक्टर अंतरिक्ष क्या होते हैं, वे कैसे संरचित होते हैं और वे महत्वपूर्ण क्यों होते हैं।
वेक्टर अंतरिक्ष की मूल परिभाषा
वेक्टर अंतरिक्ष वस्तुओं का संग्रह है, जिन्हें वेक्टर कहा जाता है, जिन्हें जोड़ जा सकता है और स्कैलर्स से गुणा किया जा सकता है, जहाँ स्कैलर्स संख्याएँ होती हैं। स्कैलर्स का सेट अक्सर वास्तविक संख्याएँ होती हैं, लेकिन यह कोई भी क्षेत्र (फील्ड) हो सकता है, जैसे कि जटिल संख्याएँ।
वेक्टर अंतरिक्ष के घटक
चलिये, वेक्टर अंतरिक्ष के मूल घटकों को विभाजित करते हैं:
- वेक्टर: ये वेक्टर अंतरिक्ष के घटक होते हैं। उदाहरण के लिए, वेक्टर अंतरिक्ष
(mathbb{R}^3)में, वेक्टर वास्तविक संख्याओं के क्रमबद्ध तिकड़ी होते हैं। - स्कैलर्स: स्कैलर्स एक फील्ड के होते हैं, अक्सर वास्तविक संख्याएँ
(mathbb{R})या जटिल संख्याएँ(mathbb{C})। - जोड़: वेक्टरों को एक साथ जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए,
(mathbb{R}^2)में, यदिu = (u_1, u_2)औरv = (v_1, v_2)हैं, तो उनका योगu + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)होता है। - स्केलर गुणा: वेक्टरों को स्केलर्स से गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि
u = (u_1, u_2)है औरcएक स्केलर है, तोc cdot u = (c cdot u_1, c cdot u_2)होता है।
वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा के क्रियाओं को कुछ स्वीकृतियों को संतुष्ट करना चाहिए, जिन्हें हम शीघ्रता से देखेंगें।
वेक्टर अंतरिक्ष के स्वीकृतियां
एक सेट V जिसमें दो क्रियाएं होती हैं, वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा, उसे फील्ड (F) पर एक वेक्टर अंतरिक्ष कहा जाता है यदि निम्न स्वीकृतियां सभी वेक्टर u, v, w in V और स्केलर्स c, d in F के लिए सत्य होती हैं:
- जोड़ सममित है:
u + v = v + u। - जोड़ संयोजक है:
(u + v) + w = u + (v + w)। - कोई जोड़ात्मक आइडेंटिटी
0होता है, ताकिu + 0 = uप्रत्येकuके लिए। - प्रत्येक
uके लिए एक जोड़ात्मक विभाजक-uहोता है, जिससेu + (-u) = 0। - स्केलर गुणा के साथ संगत:
c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v। - स्केलर गुणा के साथ संगत:
(c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u। - स्केलर गुणा का संयोजन:
(c cdot d) cdot u = c cdot (d cdot u)। - स्केलर गुणा का आइडेंटिटी तत्व:
1 cdot u = u, जहाँ1फील्डFमें गुणा का आइडेंटिटी होता है।
उदाहरण: वेक्टर अंतरिक्ष (mathbb{R}^2)
एक सामान्य उदाहरण वेक्टर अंतरिक्ष (mathbb{R}^2) है, जो वास्तविक संख्याओं के सभी क्रमबद्ध जोड़ों का सेट है। यह वास्तविक संख्याओं के ऊपर वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा की सामान्य क्रियाओं के साथ एक वेक्टर अंतरिक्ष है।
एक दो-आयामी प्लेन की कल्पना करें जहां प्रत्येक बिंदु एक वेक्टर है। उदाहरण के लिए, (mathbb{R}^2) में (1,2) और (3,4) जोड़कर एक अन्य वेक्टर प्राप्त कर सकते हैं: (1+3, 2+4) = (4,6)।
शून्य वेक्टर
प्रत्येक वेक्टर अंतरिक्ष में एक शून्य वेक्टर (जोड़ात्मक आइडेंटिटी) होना चाहिए, जो अद्वितीय होता है। यह वह वेक्टर है जिसे किसी भी वेक्टर में जोड़ने पर दूसरा वेक्टर अपरिवर्तित रहता है, जो साधारण अंकगणित में शून्य के समान है।
सबस्पेस और स्पैनिंग सेट्स
सबस्पेस वेक्टर अंतरिक्ष के उपसेट होते हैं जो स्वयं उसी क्रियाओं के अंतर्गत वेक्टर अंतरिक्ष होते हैं। यदि W सेट V का उपसेट है, और W वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा के अधीन बंद है, तो W वेक्टर अंतरिक्ष V का सबस्पेस है।
स्पैनिंग सेट वेक्टर का सेट है जो वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा के माध्यम से वेक्टर अंतरिक्ष के प्रत्येक वेक्टर को बना सकते हैं। यदि वेक्टर अंतरspace V के प्रत्येक तत्व को कुछ वेक्टर S से बने द्वारा लिखा जा सकता है, तो S अंतरspace V को स्पैन करता है।
सबस्पेस की दृष्टि
विचार करें (mathbb{R}^2). एक रेखा जो उत्पत्ति से गुजरती है, जैसे कि span{(1,0)}, एक सबस्पेस है। जब आप रेखा को देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह कैसे अंतरspace (mathbb{R}^2) का सबस्पेस फैलाता है।
रेखीय स्वतंत्रता और आधार
वेक्टर का एक सेट रेखीय स्वतंत्र है यदि सेट में कोई भी वेक्टर अन्य वेक्टरों के संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यदि आप सेट में किसी भी वेक्टर को अन्य वेक्टरों के रेखीय संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं, तो सभी वेक्टर अंतरिक्ष में अद्वितीय दिशाएँ दे रहे हैं।
वेक्टर अंतरspace का आधार रेखीय स्वतंत्र वेक्टर का एक सेट है जो अंतरspace को फैलाता है। (mathbb{R}^2) में, एक सामान्य आधार {(1,0), (0,1)} है। कोई अन्य आधार दो रेखीय स्वतंत्र वेक्टर होंगे जो अंतरspace को स्पैन करते हैं।
वेक्टर अंतरspaces के आयाम
एक वेक्टर अंतरspace का आयाम किसी भी आधार के वेक्टरों की संख्या होता है। उदाहरण के लिए, (mathbb{R}^2) का आयाम 2 है क्योंकि प्रत्येक आधार में सटीक दो वेक्टर होते हैं।
निष्कर्ष
वेक्टर अंतरspaces और उनकी विशेषताएँ रैखिक बीजगणित की नींव बनाते हैं। वेक्टर अंतरspaces की समझ वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने की महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करती है जहां वेक्टर शामिल हैं, जैसे कंप्यूटर ग्राफिक्स, क्वांटम मेकैनिक्स और बहुत कुछ।
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