Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Espacio vectorial


Los espacios vectoriales son conceptos fundamentales en el álgebra lineal, que es en sí misma una parte esencial de las matemáticas. Sirven como marcos para entender soluciones a sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones geométricas y mucho más. En esta explicación, profundizaremos en qué son los espacios vectoriales, cómo están estructurados y por qué son importantes.

Definición básica de espacio vectorial

Un espacio vectorial es una colección de objetos, llamados vectores, que pueden sumarse entre sí y multiplicarse por escalares, donde los escalares son números. El conjunto de escalares a menudo son los números reales, pero puede ser cualquier campo, como los números complejos.

Componentes de un espacio vectorial

Vamos a desglosar los componentes básicos de un espacio vectorial:

  • Vectores: Estos son los elementos de un espacio vectorial. Por ejemplo, en el espacio vectorial (mathbb{R}^3), los vectores son tríos ordenados de números reales.
  • Escalares: Los escalares pertenecen a un campo, a menudo el conjunto de los números reales (mathbb{R}) o el conjunto de los números complejos (mathbb{C}).
  • Suma: Los vectores se pueden sumar entre sí. Por ejemplo, en (mathbb{R}^2), si u = (u_1, u_2) y v = (v_1, v_2), entonces su suma es u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2).
  • Multiplicación por escalar: Los vectores se pueden multiplicar por escalares. Por ejemplo, si u = (u_1, u_2) y c es un escalar, entonces c cdot u = (c cdot u_1, c cdot u_2).

Las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar deben satisfacer ciertos axiomas, que cubriremos en breve.

Axiomas de los espacios vectoriales

Un conjunto V con dos operaciones, suma de vectores y multiplicación por escalar, se llama espacio vectorial sobre un campo (F) si los siguientes axiomas se cumplen para todos los vectores u, v, w in V y escalares c, d in F:

  1. La suma es conmutativa: u + v = v + u.
  2. La suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w).
  3. Existe un elemento neutro aditivo 0 tal que u + 0 = u para todo u.
  4. Para cada u existe un inverso aditivo -u tal que u + (-u) = 0.
  5. Compatible con la multiplicación por escalar: c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v.
  6. Compatible con la multiplicación por escalar: (c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u.
  7. Asociatividad de la multiplicación por escalar: (c cdot d) cdot u = c cdot (d cdot u).
  8. Elemento identidad de la multiplicación por escalar: 1 cdot u = u, donde 1 es la identidad multiplicativa en F

Ejemplo: Espacio vectorial (mathbb{R}^2)

Un ejemplo común de un espacio vectorial es (mathbb{R}^2), el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. Es un espacio vectorial sobre los números reales con las operaciones usuales de suma de vectores y multiplicación por escalar.

Para visualizar, imagina un plano bidimensional donde cada punto es un vector. Por ejemplo, en (mathbb{R}^2) se puede obtener otro vector al unir los puntos (1,2) y (3,4): (1+3, 2+4) = (4,6).

(1,2) (3,4) (4,6)

Vector cero

Todo espacio vectorial debe tener un vector cero (la identidad aditiva), que es único. Este es el vector que, al sumarse con cualquier vector en el espacio, deja el otro vector sin cambios, que es el mismo que cero en la aritmética ordinaria.

Subespacios y conjuntos generadores

Los subespacios son subconjuntos de espacios vectoriales que son ellos mismos espacios vectoriales bajo las mismas operaciones. Si W es un subconjunto de V, y W está cerrado bajo la suma de vectores y la multiplicación por escalar, entonces W es un subespacio de V

Un conjunto generador es un conjunto de vectores que se pueden combinar (mediante suma y multiplicación por escalar) para producir cada vector en un espacio vectorial. Si cada elemento de un espacio vectorial V puede escribirse como una combinación lineal de vectores de algún vector S, entonces S genera V

Visualización de subespacios

Consideremos (mathbb{R}^2). Una línea a través del origen, como span{(1,0)}, es un subespacio. Al visualizar la línea, se puede ver cómo genera un subespacio de (mathbb{R}^2).

Línea a través de (1,0)

Independencia lineal y base

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ningún vector en el conjunto puede escribirse como una combinación de otros vectores. Si no puedes expresar ningún vector del conjunto como una combinación lineal de otros vectores, entonces todos los vectores dan direcciones únicas en el espacio.

Una base de un espacio vectorial es un conjunto linealmente independiente de vectores que genera el espacio. En (mathbb{R}^2), una base común es {(1,0), (0,1)}. Cualquier otra base tendrá dos vectores linealmente independientes que generan el espacio.

Dimensiones de los espacios vectoriales

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquier base de ese espacio. Por ejemplo, (mathbb{R}^2) tiene dimensión 2 porque hay exactamente dos vectores en cada base.

Conclusión

Los espacios vectoriales y sus propiedades forman la base del álgebra lineal. Comprender los espacios vectoriales proporciona una visión esencial para resolver problemas del mundo real donde están involucrados vectores, como gráficos por computadora, mecánica cuántica y más.


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