テンソル積の導入

テンソル積は抽象代数学および線型代数学における基本概念です。これは既存の加群やベクトル空間から新しい加群やベクトル空間を構築することを可能にします。テンソル積を理解することは、幾何学、位相学など多くの数学の分野で重要です。概念を完全に理解するには、関連する代数的構造と、それらに対するテンソル積の動作を理解することが重要です。この説明では、加群のコンテクストにおけるテンソル積の定義、性質、例を深く掘り下げます。

加群とは何ですか？

テンソル積に進む前に、加群が何であるかをまず理解しましょう。加群はベクトル空間の一般化のようなものです。ただし、ベクトル空間のようなスカラーの体の代わりに、加群はスカラーの集合として環を使用します。以下はその正式な定義です：

集合 M が左 R 加群であるのは、次の操作 R × M → M がある場合です：
1. 任意の r ∈ R および m, n ∈ M に対して r · (m + n) = r · m + r · n
2. 任意の r, s ∈ R および m ∈ M に対して (r + s) · m = r · m + s · m
3. 任意の r, s ∈ R および m ∈ M に対して (r · s) · m = r · (s · m)
4. 任意の m ∈ M に対して 1_R · m = m （ここで 1_R は R の乗法単位元）

テンソル積の定義

次に、加群のテンソル積に移りましょう。テンソル積は、同じ環にわたる二つの加群を「乗算」して別の加群を形成することを可能にします。この操作は、数やベクトルの乗算の概念を加群のより一般的な文脈に拡張します。

もし M と N が環 R に対する加群であるならば、テンソル積 M ⊗_R N は R 加群であり、任意の R 加群 P および双線形写像 f: M × N → P に対して、一意的な線形写像 g: M ⊗_R N → P が存在し、以下の図を変換するようなものである：

m × n --f--> p
 ,
 |G∘⊗ |
M ⊗_R N -----G--→ P

この操作 ⊗ は対 (m, n) をテンソル積 M ⊗_R N の元に写します。

テンソル積の構築

テンソル積の構築はかなり技術的ですが、基本的には対 (m, n) によって生成される自由加群から始め、双線形性を保証するために特定の関係で商を取ります。具体的には：

M ⊗_R N を構築するには、m ∈ M および n ∈ N の記号 [m, n] で生成される自由加群を考え、次の関係を適用します：
1. [m + m', n] = [m, n] + [m', n]
2. [m, n + n'] = [m, n] + [m, n']
3. [rm, n] = r[m, n] および [m, rn] = r[m, n]。

これらの関係により、テンソル積は双線形になります。

テンソル積の性質

• 分配性: (M ⊕ M') ⊗_R N ≅ (M ⊗_R N) ⊕ (M' ⊗_R N)
• 結合性: (M ⊗_R N) ⊗_R P ≅ M ⊗_R (N ⊗_R P)
• 可換性: M ⊗_R N ≅ N ⊗_R M （R が可換である場合のみ）

ここで、⊕ は加群の直和、≅ は同型を示します。

テンソル積の例

テンソル積の実際の例をいくつか見てみましょう。

例 1: ベクトル空間のテンソル積

V と W を体 K 上のベクトル空間とします。テンソル積 V ⊗_K W は、その次元が V と W の次元の積であるベクトル空間です。

もし {v_1, v_2, ..., v_m} が V の基底であり、{w_1, w_2, ..., w_n} が W の基底であるならば、 
{v_i ⊗ w_j | i = 1, ..., m; j = 1, ..., n} は V ⊗_K W の基底を形成します。

例 2: Z-加群とのテンソル積

2 での整数の剰余 ℤ/2ℤ と 3 での整数の剰余 ℤ/3ℤ を考えます。これらのテンソル積を ℤ 上で計算します。

ℤ/2ℤ は ℤ[x]/(x²-x) と類似し、ℤ/3ℤ は ℤ[y]/(y²-y) と類似するため、 
テンソル積 (ℤ/2ℤ) ⊗_ℤ (ℤ/3ℤ) は自明です。

テンソル積の応用

テンソル積はさまざまな数学分野で広く使用されています。例えば、代数幾何学において、テンソル積は層の構成を可能にし、スキームを定義するために不可欠です。物理学、特に量子力学では、テンソル積は多粒子系の記述に使用されます。

量子力学のコンテクストでは、H_1 と H_2 がヒルベルト空間であるとすると、 
テンソル積 H_1 ⊗ H_2 は二重系の結合状態空間を表します。

結論

テンソル積は強力で多用途な数学的概念です。これにより、複雑な代数構造で作業する能力が向上し、さまざまな数学的分野間のつながりを見る能力が向上します。

要するに、テンソル積は数学における基礎的な操作をより広い文脈に拡張し、新しい数学理論や応用の分野を探求する機会を提供します。

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