टेंसर उत्पादों का परिचय

टेंसर उत्पाद अमूर्त बीजगणित और रेखीय बीजगणित में एक मौलिक अवधारणा हैं। वे मौजूदा मॉड्यूल या सदिश स्थानों से नए मॉड्यूल या सदिश स्थान बनाने की अनुमति देते हैं। टेंसर उत्पादों को समझना गणित के कई क्षेत्रों में आवश्यक है, जिसमें ज्यामिति, टोपोलॉजी और अधिक शामिल हैं। अवधारणा को पूरी तरह से समझने के लिए, शामिल बीजगणितीय संरचनाओं को समझना और उन पर टेंसर उत्पाद कैसे कार्य करते हैं, यह समझना महत्वपूर्ण है। यह व्याख्या मॉड्यूल के संदर्भ में टेंसर उत्पादों की परिभाषाओं, गुणधर्मों और उदाहरणों में गहराई से जाएगी।

मॉड्यूल क्या है?

टेंसर उत्पादों में गोता लगाने से पहले, आइए पहले समझें कि मॉड्यूल क्या है। एक मॉड्यूल सदिश स्थान का सामान्यीकरण जैसा होता है। हालाँकि, स्केलर्स के क्षेत्र (जैसे सदिश स्थान में वास्तविक संख्या) के बजाय, एक मॉड्यूल स्केलर्स के समूह के रूप में रिंग का उपयोग करता है। यहाँ औपचारिक परिभाषा दी गई है:

उनतीस M एक बाएँ R मॉड्यूल है यदि वहाँ एक क्रिया R × M → M है जैसे कि:
1. r · (m + n) = r · m + r · n सभी r ∈ R और m, n ∈ M के लिए
2. (r + s) · m = r · m + s · m सभी r, s ∈ R और m ∈ M के लिए
3. (r · s) · m = r · (s · m) सभी r, s ∈ R और m ∈ M के लिए
4. 1_R · m = m सभी m ∈ M के लिए जहाँ 1_R का एक गुणज इकाई है R में

टेंसर उत्पादों की परिभाषा

अब, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद पर। टेंसर उत्पाद हमें समान रिंग पर दो मॉड्यूल को "गुणा" करके एक और मॉड्यूल बनाने की अनुमति देता है। यह क्रिया मॉड्यूल के संदर्भ में संख्याओं या सदिशों को गुणा करने की धारणा को सामान्य रूप से विस्तृत करती है।

अगर M और N एक रिंग R पर मॉड्यूल हैं, तब टेंसर उत्पाद M ⊗_R N एक R मॉड्यूल है, इस तरह से निर्मित कि किसी भी R मॉड्यूल P और द्विखंडी मानचित्र f: M × N → P के लिए, वहाँ एक अद्वितीय रेखीय मानचित्र g: M ⊗_R N → P है जैसे कि निम्नलिखित आरेख परिवर्तन करता है:

m × n --f--> p
 ,
 |G∘⊗ |
M ⊗_R N -----G--→ P

टेंसर उत्पाद M ⊗_R N सामान्य अध्ययन किया जाता है द्विखंडी मानचित्र को स्थायी बनाने के लिए।

टेंसर उत्पाद का निर्माण

टेंसर उत्पाद का निर्माण काफी तकनीकी हो सकता है, लेकिन यह मूल रूप से जोड़े (m, n) द्वारा उत्पन्न एक नि: शुल्क मॉड्यूल से प्रारंभ करने और फिर उन्हें द्विखंडी सुनिश्चित करने के लिए कुछ संबंधों द्वारा कोटा करने में शामिल होता है। विशेष रूप से:

M ⊗_R N बनाने के लिए, उस प्रतीकों [m, n] द्वारा उत्पन्न फ्री मॉड्यूल पर विचार करें जिनके लिए m ∈ M और n ∈ N है। फिर निम्नलिखित संबंध लागू करें:
1. [m + m', n] = [m, n] + [m', n]
2. [m, n + n'] = [m, n] + [m, n']
3. [rm, n] = r[m, n] और [m, rn] = r[m, n]।

ये संबंध सुनिश्चित करते हैं कि टेंसर उत्पाद द्विखंडी है।

टेंसर उत्पादों के गुणधर्म

• वितरण: (M ⊕ M') ⊗_R N ≅ (M ⊗_R N) ⊕ (M' ⊗_R N)
• सहयोग: (M ⊗_R N) ⊗_R P ≅ M ⊗_R (N ⊗_R P)
• परिवर्तनशीलता: M ⊗_R N ≅ N ⊗_R M (केवल यदि रिंग R परिवर्तनशील है)

यहाँ, ⊕ मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग दर्शाता है, और ≅ समरूपता दर्शाता है।

टेंसर उत्पादों के उदाहरण

आइए टेंसर उत्पादों के क्रियाशीलता के कुछ उदाहरणों पर गौर करें।

उदाहरण 1: सदिश स्थानों का टेंसर उत्पाद

आप V और W क्षेत्र K पर सदिश स्थान हैं, टेंसर उत्पाद V ⊗_K W एक सदिश स्थान है जिसकी आयाम V और W के आयामों का गुणनफल है

यदि {v_1, v_2, ..., v_m} एक आधार है V का और {w_1, w_2, ..., w_n} एक आधार है W का,
तो {v_i ⊗ w_j | i = 1, ..., m; j = 1, ..., n} एक आधार बनता है V ⊗_K W के लिए।

उदाहरण 2: Z-मॉड्यूल के साथ टेंसर उत्पाद

मान लें पूर्णांक रुपांतर 2, ℤ/2ℤ, और पूर्णांक रुपांतर 3, ℤ/3ℤ। उनके टेंसर उत्पाद की गणना करें ℤ पर।

चूंकि ℤ/2ℤ ℤ[x]/(x²-x) के समान है और ℤ/3ℤ ℤ[y]/(y²-y) के समान है,
 Tटेंसर उत्पाद (ℤ/2ℤ) ⊗_ℤ (ℤ/3ℤ) शून्य है।

टेंसर उत्पादों के अनुप्रयोग

टेंसर उत्पाद विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय ज्यामिति में, टेंसर उत्पाद म्यानों के निर्माण की अनुमति देते हैं और योजनाओं को परिभाषित करने में आवश्यक होते हैं। भौतिकी में, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में, टेंसर उत्पादों का उपयोग कई कणों वाली प्रणालियों के वर्णन के लिए किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, यदि H_1 और H_2 हिल्बर्ट स्थान हैं,
तो टेंसर उत्पाद H_1 ⊗ H_2 साझा प्रणाली की संयुक्त स्थिति प्रस्तुत करता है।

निष्कर्ष

टेंसर उत्पाद एक शक्तिशाली और बहुमुखी गणितीय अवधारणा है। वे मॉड्यूल और सदिश स्थानों को एक कठोर बीजगणितीय ढांचे में मिलाने का एक तरीका प्रदान करते हैं। टेंसर उत्पादों को समझने से हमें जटिल बीजगणितीय संरचनाओं के साथ काम करने की हमारी क्षमता में सुधार होता है और विभिन्न गणितीय क्षेत्रों के बीच संबंधों को देखने की अनुमति मिलती है।

संक्षेप में, टेंसर उत्पाद गणित में मौलिक क्रियाओं को व्यापक संदर्भ में विस्तारित करते हैं, जिससे हमें गणितीय सिद्धांत और अनुप्रयोग के नए और रोमांचक क्षेत्रों की खोज करने का अवसर मिलता है।

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