フリーモジュール

抽象代数学では、モジュールはスカラーの体を環に置き換えたベクトル空間の一般化です。これは、環が必ずしも体のように良い性質を持っていないため、モジュールの研究をかなり微妙にする可能性があります。フリーモジュールは、ベクトル空間の馴染みある構造に似ているため、理解しやすいモジュールの1つです。

基本的な定義と概念

その核心において、フリーモジュールはそれぞれのモジュールの要素を線形結合で「独立に」生成できる要素のセットで構成されています。これらの生成要素はモジュールの基底と呼ばれます。Mが環R上のモジュールであり、{e_i}があるインデックス集合Iでの基底を形成する場合、M内の各要素mは次のように書くことができます:

m = r_1 * e_1 + r_2 * e_2 + ... + r_n * e_n,

ここでr_iは環Rの要素であり、e_iは基底要素です。

形式的には、環R上のモジュールMは、基底{e_i | i ∈ I}が存在し、Mの各要素が次のように有限和として一意に表現できる場合、自由と呼ばれます:

m = sum_{i ∈ I} r_i * e_i,

ここでr_i ∈ Rであり、r_i以外は有限個のゼロを持ちます。

視覚的な例

整数環Zを考えます。フリーモジュールの簡単な例はZ^2で、これは2つの整数の直積です。これを平面にグラフとして描くと次のようになります:

この図では、水平の赤い線が基底ベクトルe_1を表し、垂直の青い線がe_2を表しています。このグリッド上の任意の点は、e_1とe_2の整数線形結合として表現できます。

フリーモジュールの性質

フリーモジュールは、研究の対象として興味深い重要な性質をいくつか備えています:

直和: 任意のフリーモジュールは、その基底環のコピーの直和と同型です。Rが環であり、{e_i | i ∈ I}が基底である場合、モジュールMは⊕_{i ∈ I} Rとなります。これは、フリーモジュールが「直接的に合計」された単純な部分に分解でき、基本的に基底環R上のベクトル空間を形成することを意味します
普遍写像性質: フリーモジュールはフリー群に似た普遍性を持っています。任意のモジュールNに対し、基底からMからNへの写像を持っている場合、それはMからNへのモジュール準同型として一意に拡張されます

フリーモジュールの作成

フリーモジュールを構築するには、基底として機能するセットを選びます。Sが任意のセットである場合、すべての関数のセットをSから環Rへの関数として考えます。これを次のように表します:

M = ⨁_{s ∈ S} R,

これが自由なR-モジュールです。このモジュールにはSのすべての要素をゼロにマップし、1つの要素sを除く基底関数f_sがあります。この要素の一意な特徴付けは、セットによって与えられた任意の線形結合をまとめるための自由度をフリーモジュールに確保します。

フリーモジュールの例

フリーモジュールの概念を説明するいくつかの例を示します:

整数格子: Z^nを考えます。先に説明したZ^2と同様に、任意のn行の整数はフリーモジュールを形成します。基底はベクトルとして表現できます:
```
{(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)}
```
多項式環: 環Rの係数で構成される多項式の集合R[x]は、基底{1, x, x^2, ...}を持つR上のフリーモジュールです。各多項式は、xのべき乗の線形結合として一意に書くことができます。
関数空間: 環R上の有限列の集合はフリーモジュールです。たとえば、(r_0, r_1, ..., r_n)のようなシーケンスの空間は、r_i ∈ Rであるフリーモジュールであり、基底は1つの位置に1があり、他のすべての場所に0があるシーケンスに対応します: {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ...}

課題と誤解

フリーモジュールは、特に可換またはネーター環を考慮するときに直感的に見えるかもしれませんが、注意しなければならない課題と誤解がいくつかあります:

基底の非一意性: ベクトル空間とは異なり、同じ空間のすべての基底が同じ数の要素を持つわけではありません。フリーモジュールは異なる基数の基底を持つことができます。これは特に環の性質により、無限の場合に明らかです。
環の選択: 環の性質により、フリーモジュールで可能なことが変わります。例えば、主イデアル整域（例: 整数）では、有限生成のモジュールは自由ですが、他の環ではフリーモジュールがすべてのモジュールを表すことはできません。