モジュール準同型

はじめに

抽象代数学の広大な分野において、モジュールは線形代数学におけるベクトル空間と同様に重要な役割を果たしています。この概念の中には、モジュール準同型と呼ばれる重要な考えがあります。モジュール準同型は、ベクトル空間における線形変換と同様の役割を果たすため、モジュールの構造を理解するために不可欠です。

モジュールとは何か？

モジュール準同型に入る前に、モジュールとは何かを見てみましょう。環上のモジュールは、体上のベクトル空間に似ていますが、スカラーは環から来るため、より柔軟です。形式的には：

    環 R 上のモジュール M は、2つの演算を持つ集合です：
    1. 加法: M × M → M, (x, y) → x + y で表される
    2. スカラー乗法: R × M → M, (r, x) → rx で表される

    これらの演算は以下の公理を満たす必要があります：
    - ヨーガの結合法則
    - 和の互換性
    - 加法単位元の存在
    - 加法逆元の存在
    - モジュール加算に対するスカラー乗法の分配法則
    - 環の和に対するスカラー乗法の分配法則
    - スカラー乗法の結合法則
    - スカラー乗法の単位元

モジュール準同型の定義

モジュール準同型とは、モジュール間の写像で、モジュール演算を保存するものです。より正式には、M と N が同じ環 R 上のモジュールである場合、関数 f: M → N は次の条件を満たす場合、モジュール準同型と呼ばれます。

• f(x + y) = f(x) + f(y) （加算は安全です）
• f(rx) = rf(x) （スカラー乗法を保存する）

モジュール準同型の例

モジュール準同型をよりよく理解するために、いくつかの例を見てみましょう。

例1: アーベル群間の同型

R が整数環 Z の場合を考えます。この例では、R-モジュールは単にアーベル群です。モジュール準同型は群同型になります。M = Z および N = Z/nZ を整数 n のモジュールとします。写像 f: Z → Z/nZ を f(x) = x mod n と定義します。以下が成り立つことは簡単に確認できます：

• 和: f(x + y) = (x + y) mod n = (x mod n + y mod n) = f(x) + f(y)
• 整数によるスカラー乗法: f(rx) = (rx) mod n = r(x mod n) = r(f(x))

したがって、f はモジュール準同型です。

例2: モジュール準同型としての線形変換

V および W を実数の体 R 上のベクトル空間とします。すると、V および W は R 上のモジュールとみなせます。線形変換 T : V → W は以下の理由でモジュール準同型です：

• T(v + u) = T(v) + T(u) for all v, u ∈ V
• T(cv) = cT(v) for all c ∈ R

したがって、線形変換はモジュール準同型の例です。

モジュール準同型の性質

モジュール準同型の性質は、ベクトル空間における線形変換に類似しています。

核と像

線形変換と同様に、モジュール準同型には核と像があります。

• 核: モジュール準同型 f: M → N の核は ker(f) = {m ∈ M | f(m) = 0_N} で与えられます。これは M の部分モジュールです。
• 像: f の像は im(f) = {n ∈ N | n = f(m) for some m ∈ M} で定義されます。これは N の部分モジュールです。

対称性

モジュール準同型は 同型 である場合、それは全単射です。2つのモジュール間に同型が存在する場合、それらは同型と呼ばれ、M ≅ N と表記されます。これは、2つのモジュールが同じ代数構造を持っていることを意味します。

射影と挿入

モジュール準同型 f: M → N は：

• 上積みである場合、その像は N と等しく、N のすべての要素が M にプレイメージを持つことを意味します。
• 単射である場合、その核にはゼロ要素のみが含まれ、一意であることを意味します。

モジュール準同型の構造

モジュール準同型 f: M → N および g: N → P に対して、(g ∘ f)(m) = g(f(m)) と定義される結合 g ∘ f: M → P もモジュール準同型です。

モジュール準同型の視覚化

図を用いて簡単なモジュール準同型を視覚化してみましょう：

上記の図では、f はモジュール M からモジュール N へのモジュール準同型を示しています。

モジュール準同型の応用

モジュール準同型は数学およびそれ以外の多くの領域で使用されています：

• 表現論: モジュールは群の表現を理解するために使用され、準同型は異なる表現間の恒等写像で重要です。
• 代数的トポロジー: モジュールはホモロジー群およびコホモロジー群を理解するのに役立ち、同相写像はそれらの間の接続写像として機能します。
• 符号理論: モジュール準同型は誤り訂正符号の符号化および復号化プロセスで有用です。

結論

モジュール準同型は、ベクトル空間における線形変換と類似したモジュール理論における基本概念です。代数的演算によって決定される構造を保持しながら、モジュール間をマッピングすることができます。このレンズを通して、代数システム内の対称性および不変量についての深い洞察が得られます。

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