Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Абстрактная алгебра ↓


Кольца и поля


В изучении абстрактной алгебры часто встречаются две важные структуры: кольца и поля. Эти структуры возникают из желания обобщить знакомую нам арифметику, такую как сложение, вычитание, умножение и деление, и применить её к различным математическим системам. Понимание колец и полей помогает продвигать математическую теорию и находить практическое применение в различных отраслях науки и техники.

Понимание колец

Кольцо — это математический набор с двумя операциями, обобщающими операции сложения и умножения. Кольцо определяется следующими свойствами:

  1. Замкнутость относительно сложения: если a и b принадлежат кольцу, то a + b также принадлежит кольцу.
  2. Ассоциативность сложения: для всех элементов a, b и c в кольце, выполняется (a + b) + c = a + (b + c)
  3. Коммутативность сложения: для любых двух элементов a и b в кольце, выполняется a + b = b + a.
  4. Аддитивная единица: существует элемент 0 в кольце такой, что a + 0 = a для любого элемента a в кольце.
  5. Аддитивный обратный элемент: для каждого элемента a в кольце существует элемент -a такой, что a + (-a) = 0.
  6. Замкнутость относительно умножения: если a и b принадлежат кольцу, то a * b также принадлежит кольцу.
  7. Ассоциативность умножения: для всех элементов a, b и c в кольце, выполняется (a * b) * c = a * (b * c)
  8. Распределительный закон: умножение распределяется по сложению: a * (b + c) = (a * b) + (a * c) и (a + b) * c = (a * c) + (b * c) для всех элементов a, b и c в кольце.

Важно отметить, что умножение в кольце может быть не коммутативным, и в кольце может не быть мультипликативной единицы.

Пример кольца

Рассмотрим множество целых чисел (mathbb{Z}) с обычными операциями сложения и умножения. Чтобы проверить, образует ли оно кольцо, проверим свойства кольца:

  • Замкнутость относительно сложения: Сумма любых двух целых чисел — это целое число.
  • Ассоциативность и коммутативность сложения: Оба свойства выполняются, поскольку сложение целых чисел ведет себя как обычное сложение.
  • Аддитивная единица и обратный элемент: Число 0 служит единичным элементом, и для любого целого числа a -a также является целым числом.
  • Коммутативность, ассоциативность и распределительный законы умножения: Точно так же умножение целых чисел удовлетворяет этим свойствам.

Вот наглядная демонстрация формирования кольца с помощью целых чисел:

Сложение Умножение Замкнутость

Область: Расширенная структура колец

Поля являются расширением колец, имея дополнительное свойство возможности деления (кроме деления на ноль). Формально, поле — это кольцо с дополнительными свойствами:

  1. Мультипликативная коммутативность: для любых двух элементов a и b в поле, выполняется a * b = b * a.
  2. Мультипликативная единица: существует ненулевой элемент 1, такой что a * 1 = a для каждого элемента a в поле.
  3. Мультипликативный обратный элемент: для каждого ненулевого элемента a в поле существует элемент a-1, такой что a * a-1 = 1.

В поле каждый ненулевой элемент должен иметь мультипликативный обратный элемент, что позволяет деление на ненулевые элементы.

Пример поля

Множество действительных чисел (mathbb{R}) со стандартными операциями сложения и умножения является полем. Давайте проверим, почему:

  • Аддитивные и мультипликативные операции: Сложение действительных чисел удовлетворяет всем свойствам кольца умножения.
  • Мультипликативная коммутативность: Это свойство выполняется естественно, так как a * b = b * a для любых действительных чисел a и b.
  • Мультипликативная единица: Число 1 служит единичным элементом.
  • Мультипликативный обратный элемент: Для каждого ненулевого действительного числа a существует 1/a, такое что a * (1/a) = 1.

Вот наглядная демонстрация построения поля с помощью действительных чисел:

Сложение Умножение Обратимость Идентификация

Отношение между кольцами и полями

Каждое поле естественно является кольцом, потому что оно удовлетворяет всем аксиомам, которые определяют кольцо. Однако не каждое кольцо является полем. Вот некоторые ключевые различия:

  • В поле каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент; это не требуется в кольце.
  • Умножение должно быть коммутативным в поле, но это не обязательно в кольце.

Давайте рассмотрим чёткие примеры, чтобы понять эти различия:

Пример 1: Кольцо, которое не является полем

Рассмотрим множество целых чисел (mathbb{Z}). Оно образует кольцо, но не поле. Причина проста: не каждое целое число имеет мультипликативный обратный элемент, который также является целым числом. Например, не существует целого числа x, такого что 2 * x = 1.

Пример 2: Поле, которое также является кольцом

Вспомним поле рациональных чисел (mathbb{Q}). Этот набор удовлетворяет как свойствам кольца, так и полю, так как любое рациональное число a/b (где b ≠ 0) имеет обратный элемент b/a, который также является рациональным числом.

Заключение

Понятия колец и полей являются основополагающими для абстрактной алгебры, предоставляя основу для работы с множеством математических объектов. Кольца обобщают базовые арифметические операции, такие как сложение и умножение, применяя их к различным системам, а поля добавляют уровень сложности, позволяя деление.

Эти алгебраические структуры расширяют наше понимание числовых систем и находят глубокое применение в других областях, включая информатику, криптографию и теорию кодирования. Освоение этих тем открывает двери к углубленным математическим исследованиям и более глубокому пониманию основополагающих принципов математики.


Магистратура → 2.2


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (2.1.4)
Теорема Силова
следующая (2.2.1) →
Идеалы и фактор-кольца

комментарии 



Кольца и поля

https://www.buddymath.com/g/2.2?bmal=ru