リングと体

抽象代数学の研究において、リングと体という2つの重要な構造がよく出てきます。これらの構造は、加算、減算、乗算、除算など、我々が知っている算術を一般化し、さまざまな数学的システムに適用したいという欲求から生じます。リングと体を理解することは、数学理論を進展させ、科学や工学のさまざまな分野で実用的な応用を見つける助けとなります。

リングの理解

リングは、加算および乗算の操作を一般化した2つの操作を持つ数学的集合です。リングは次の特性によって定義されます：

加算に対する閉性: リング内に a および b があるとき、a + b もまたリングに属します。
結合法則（足し算）: リング内のすべての要素 a、b、c に対して、(a + b) + c = a + (b + c)
交換法則（足し算）: リング内の任意の2つの要素 a および b に対して、a + b = b + a。
加法の単位元: リング内の任意の要素 a に対して、a + 0 = a となる要素 0 が存在します。
加法逆元: リング内の任意の要素 a に対して、a + (-a) = 0 となる要素 -a が存在します。
乗算に対する閉性: リング内に a および b があるとき、a * b もまたリングに属します。
結合法則（乗算）: リング内のすべての要素 a、b、c に対して、(a * b) * c = a * (b * c)
分配法則: 乗算は加算に対して分配されます：a * (b + c) = (a * b) + (a * c) および (a + b) * c = (a * c) + (b * c) リング内のすべての要素 a、b、c に対して。

乗算がリング内で可換でない場合があり、リングは乗法の単位元を持つ必要はないことに注意することが重要です。

リングの例

整数の集合 (mathbb{Z}) を通常の加算と乗算で考えます。この集合がリングを形成するかどうかを確認するために、リングの特性を検証します：

加算に対する閉性: 任意の2つの整数の和は整数です。
結合法則と交換法則（足し算）: 整数の加算は通常の加算と同様に動作するため、どちらの特性も有効です。
加法の単位元と逆元: 数 0 は単位元として機能し、任意の整数 a に対して、-a もまた整数です。
乗算における交換法則、結合法則、分配法則: 同様に、整数の乗算はこれらの特性を満たしています。

整数によるリング形成の視覚的デモンストレーションは次のとおりです：

領域: リングの高度な構造

フィールドは、除算が可能な追加の性質を持つリングの拡張です（ただしゼロによる除算は除く）。形式的には、フィールドは追加の特性を持つリングです：

乗法交換法則: フィールド内の任意の2つの要素 a および b に対して、a * b = b * a。
乗法の単位元: フィールド内の任意の要素 a に対して、a * 1 = a となる非ゼロの要素 1 が存在します。
乗法逆元: フィールド内の任意の非ゼロ要素 a に対して、a * a^-1 = 1 となる要素 a^-1 が存在します。

フィールドでは、すべての非ゼロ要素が乗法逆元を持つため、非ゼロ要素による除算が可能です。

フィールドの例

実数の集合 (mathbb{R}) は、標準的な加算と乗算の操作を持つフィールドです。その理由は次の通りです：

加算と乗算の操作: 実数の加算は、乗算リングのすべての特性を満たします。
乗法交換法則: 誰でも満たすので、任意の実数 a と b に対して a * b = b * a です。
乗法の単位元: 数値 1 は単位元として機能します。
乗法逆元: 任意の非零実数 a に対して、a * (1/a) = 1 となる 1/a が存在します。

実数によるフィールド構築の視覚的デモンストレーションは次のとおりです：