Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Anillos y campos


En el estudio del álgebra abstracta, a menudo se encuentran dos estructuras importantes, anillos y campos. Estas estructuras surgen del deseo de generalizar la aritmética con la que estamos familiarizados, como la suma, la resta, la multiplicación y la división, y aplicarla a una variedad de sistemas matemáticos. Entender los anillos y los campos ayuda a avanzar en la teoría matemática y a encontrar aplicaciones prácticas en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería.

Comprendiendo los anillos

Un anillo es un conjunto matemático equipado con dos operaciones que generalizan las operaciones de suma y multiplicación. Un anillo se define por las siguientes propiedades:

  1. Cerradura bajo adición: si a y b están en un anillo, entonces a + b también está en el anillo.
  2. Suma asociativa: para todos los elementos a, b y c en el anillo, (a + b) + c = a + (b + c)
  3. Adición conmutativa: para todos los elementos a y b en el anillo, a + b = b + a.
  4. Identidad aditiva: existe un elemento 0 en el anillo tal que a + 0 = a para cada elemento a en el anillo.
  5. Inverso aditivo: para cada elemento a en el anillo, existe un elemento -a tal que a + (-a) = 0.
  6. Cerradura bajo multiplicación: si a y b están en un anillo, entonces a * b también está en un anillo.
  7. Multiplicación asociativa: para todos los elementos a, b y c en el anillo, (a * b) * c = a * (b * c)
  8. Ley distributiva: la multiplicación distribuye sobre la suma: a * (b + c) = (a * b) + (a * c) y (a + b) * c = (a * c) + (b * c) para todos los elementos a, b y c en el anillo.

Es importante señalar que la multiplicación en un anillo puede no ser conmutativa, y el anillo no necesita tener una identidad multiplicativa.

Ejemplo de un anillo

Consideremos el conjunto de enteros (mathbb{Z}) con las operaciones habituales de suma y multiplicación. Para verificar si esto forma un anillo, verificaremos las propiedades de un anillo:

  • Cerradura bajo adición: La suma de dos enteros es un entero.
  • Adición asociativa y conmutativa: Ambas propiedades son válidas porque la suma de enteros se comporta como la suma regular.
  • Identidad aditiva e inversa: El número 0 sirve como un elemento de identidad, y para cualquier número entero a, -a también es un número entero.
  • Conmutatividad, asociatividad y leyes distributivas en la multiplicación: De manera similar, la multiplicación de enteros cumple estas propiedades.

A continuación se muestra una demostración visual de la formación de un anillo por enteros:

Suma Multiplicación Cerradura

Área: Estructura avanzada de los anillos

Los campos son extensiones de los anillos que tienen la propiedad adicional de que la división es posible (excepto la división por cero). Formalmente, un campo es un anillo con propiedades adicionales:

  1. Conmutatividad multiplicativa: para todos los elementos a y b en el campo, a * b = b * a.
  2. Identidad multiplicativa: existe un elemento distinto de cero 1 tal que a * 1 = a para cada elemento a en el campo.
  3. Inverso multiplicativo: para cada elemento distinto de cero a en el campo, existe un elemento a-1 tal que a * a-1 = 1.

En un campo, cada elemento distinto de cero debe tener un inverso multiplicativo, lo que permite la división por elementos distintos de cero.

Ejemplo de un campo

El conjunto de números reales (mathbb{R}) con las operaciones estándar de suma y multiplicación es un campo. Vamos a verificar por qué:

  • Operaciones aditivas y multiplicativas: La suma de números reales satisface todas las propiedades del anillo de multiplicación.
  • Conmutatividad multiplicativa: Esto se satisface naturalmente ya que a * b = b * a para cualquier número real a y b.
  • Identidad multiplicativa: El número 1 sirve como el elemento de identidad.
  • Inverso multiplicativo: Para cada número real no cero a, existe 1/a tal que a * (1/a) = 1.

A continuación se muestra una demostración visual de la construcción de un campo por números reales:

Suma Multiplicación a invertir Identificación

Relación entre anillos y campos

Todo campo es naturalmente un anillo porque satisface todos los axiomas que definen un anillo. Sin embargo, no todo anillo es un campo. Aquí hay algunas diferencias clave:

  • En un campo, cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo; esto no se requiere en un anillo.
  • La multiplicación debe ser conmutativa en un campo, pero esto no es necesario en un anillo.

Veamos ejemplos claros para entender estas diferencias:

Ejemplo 1: Un anillo que no es un campo

Consideremos el conjunto de enteros (mathbb{Z}). Forma un anillo, pero no un campo. La razón es simple: no todos los enteros tienen un inverso multiplicativo que también sea un entero. Por ejemplo, no existe un entero x tal que 2 * x = 1.

Ejemplo 2: Un campo que también es un anillo

Recordemos el campo de números racionales (mathbb{Q}). Este conjunto satisface tanto las propiedades del anillo como las del campo, ya que cualquier número racional a/b (donde b ≠ 0) tiene un inverso b/a que también es un número racional.

Conclusión

Los conceptos de anillos y campos son fundamentales en el álgebra abstracta, proporcionando un marco para trabajar con una amplia variedad de objetos matemáticos. Los anillos generalizan las operaciones aritméticas básicas, como la suma y la multiplicación con sistemas aplicables, mientras que los campos añaden una capa de complejidad al permitir la división.

Estas estructuras algebraicas mejoran nuestra comprensión de los sistemas numéricos y encuentran aplicaciones profundas en otros campos, incluida la informática, la criptografía y la teoría de la codificación. Dominar estos temas abre la puerta a estudios matemáticos avanzados y una comprensión más profunda de los principios subyacentes de las matemáticas.


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Anillos y campos

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