Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Álgebra Abstrata → Anéis e campos ↓


Anéis de polinômios


Na álgebra abstrata, os anéis de polinômios são um conceito importante que mistura as ideias fundamentais de anéis e polinômios. Para entender os anéis de polinômios, é importante primeiro compreender bem tanto os anéis quanto os polinômios separadamente. Neste artigo abrangente, discutiremos a definição, propriedades, exemplos e aplicações dos anéis de polinômios, além de tentar explicar os conceitos de maneira simples e compreensível.

Anéis: Uma visão geral rápida

Um anel é uma estrutura algébrica composta por um conjunto equipado com duas operações binárias: adição e multiplicação. Essas operações devem satisfazer um conjunto de propriedades, incluindo:

  • Deve existir uma identidade aditiva (comumente denotada por 0) tal que, para qualquer elemento a no anel, a + 0 = a.
  • Para todo elemento a deve existir um inverso aditivo, o que significa que existe algum elemento -a tal que a + (-a) = 0.
  • A multiplicação deve ser associativa: para quaisquer elementos a, b, c, segue que (a * b) * c = a * (b * c)
  • A multiplicação é distributiva sobre a adição: para quaisquer elementos a, b, c, temos a * (b + c) = a * b + a * c e (a + b) * c = a * c + b * c

Observe que alguns anéis têm uma identidade multiplicativa (um elemento geralmente denotado por 1 de forma que a * 1 = a para todos os elementos a), mas isso não é estritamente necessário para que um conjunto seja classificado como um anel.

Entendendo polinômios

Antes de começarmos a discutir os anéis de polinômios, vamos definir um polinômio em termos simples. Um polinômio em uma variável x sobre um anel R é uma expressão da forma:

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n

Aqui, os coeficientes a i são elementos do anel R, e n é chamado de grau do polinômio, desde que a n ≠ 0 Se o grau é zero, então o polinômio é apenas uma constante.

Exemplos de polinômios incluem:

  • 3 + 2x + x 2 em R[x] onde os coeficientes são números reais.
  • 7 - 5y + y 3 em S[y] onde os coeficientes são inteiros.
  • z 3 + 4z em T[z] onde os coeficientes são números racionais.

Definindo um anel de polinômios

Agora que temos uma melhor compreensão de anéis e polinômios, vamos combinar essas ideias para definir um anel de polinômios. Um anel de polinômios é o grupo de polinômios com coeficientes em um determinado anel, equipado com operações de adição e multiplicação de polinômios.

Considere um anel R O anel de polinômios em uma variável x com coeficientes em R é denotado por R[x]. Os elementos de R[x] são expressões da forma:

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n

Aqui, a 0, a 1, ..., a n pertencem ao anel R A soma de dois polinômios f(x) e g(x) consiste em somar seus coeficientes ponto a ponto:

(f + g)(x) = (a 0 + b 0) + (a 1 + b 1)x + ... + (a n + b n)x n

O produto de dois polinômios é dado por:

(f * g)(x) = Σ (a i * b j) x i+j

O grau do anel de polinômios R[x] nos diz que se grau(f) = m e grau(g) = n, então grau(f * g) = m + n

Propriedades dos anéis de polinômios

Os anéis de polinômios herdam muitas propriedades de seus anéis base, mas também introduzem novos conceitos únicos para a álgebra de polinômios. Aqui estão algumas propriedades essenciais:

  • Anel de polinômios comutativo: Se R é comutativo, então R[x] também é comutativo.
  • Divisão de polinômios: Como os inteiros, os polinômios podem ser divididos com um resto. O algoritmo de divisão assegura que para polinômios f e g em R[x] (e onde g não é zero), existem polinômios únicos q e r tais que f = gq + r onde o grau de r é menor que o grau de g.
  • Raízes de polinômios: Uma raiz é uma solução da equação f(x) = 0 Se r é uma raiz, então x - r é um fator de f(x) pelo teorema do fator.
  • Irredutibilidade: Um polinômio é dito ser irreducível sobre um anel se não puder ser fatorado no produto de dois polinômios não constantes.

Exemplos de anéis de polinômios

Os anéis de polinômios aparecem em várias formas, dependendo do anel base R Para explicar mais adiante, consideraremos vários exemplos abrangendo diferentes tipos de anéis, como anéis de inteiros, anéis de números reais e campos finitos.

Exemplo 1: Anel de polinômios sobre os inteiros

Considere o anel de polinômios ℤ[x]. Aqui, os polinômios são expressões da forma:

3 + 2x - 4x 2 + x 3

Coeficientes inteiros indicam que o cálculo é realizado no anel dos inteiros. A soma e o produto de dois desses polinômios também resultarão em polinômios com coeficientes inteiros.

Exemplo 2: Anel de polinômios sobre os números reais

O anel de todos os polinômios com coeficientes reais é denotado por ℝ[x]. Um exemplo de polinômio nesse anel seria:

4.5 + 3.2x – x 2

Operações dentro deste anel permitem a construção de funções complexas que podem ser usadas em cálculo, como na aproximação das funções seno ou cosseno através de expansões de Taylor.

Exemplo 3: Anel de polinômios sobre um campo finito

Considere o campo finito ℤ 2, consistindo nos elementos {0, 1}. O anel de polinômios ℤ 2 [x] consiste de polinômios como o seguinte:

x 3 + x + 1

Aqui, a aritmética é realizada no módulo 2, o que significa que os coeficientes são reduzidos sob a operação módulo. Se a soma de dois coeficientes for maior que 1, tomamos o resto ao dividir por 2.

Aplicações de anéis de polinômios

Os anéis de polinômios têm muitas aplicações, incluindo a solução de equações, álgebra computacional, teoria de códigos, e mais. Vamos considerar algumas dessas importantes aplicações:

Aplicação 1: Solução de equações

Uma aplicação fundamental dos anéis de polinômios é a solução de equações. Com o anel de polinômios ℝ[x], resolvemos equações como f(x) = 0 através de fatoração ou usando a fórmula quadrática nos casos de grau 2.

Aplicação 2: Criptografia

Os anéis de polinômios sobre campos finitos são usados em teoria de códigos e algoritmos criptográficos, como códigos corretivos de erros e criptossistemas de chave pública. Em tais aplicações, é importante entender polinômios irredutíveis e primitivos.

Aplicação 3: Geometria algébrica

Na geometria algébrica, os anéis de polinômios são importantes porque formam a base para a construção e análise de variedades algébricas. A estrutura e propriedades de uma variedade algébrica podem ser estudadas através das propriedades de seus polinômios definidores.

Visualização de anéis de polinômios

Representações visuais de anéis de polinômios podem ajudar na compreensão, demonstrando operações polinomiais na prática. Considere o exemplo de uma simples adição e multiplicação abaixo.

f(x) = 2x 2 + 3x + 1 g(x) = x 2 - 1 f(x) + g(x) = 3x 2 + 3x

Em conclusão, os anéis de polinômios servem como base para inúmeras aplicações matemáticas e práticas. Eles representam a essência das estruturas algébricas, fornecendo uma ponte entre a teoria e a matemática aplicada. Como vimos, representações visuais, exemplos e uma compreensão das propriedades são as chaves para desbloquear uma compreensão mais completa dos anéis de polinômios.


Pós-graduação → 2.2.4


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (2.2.3)
Teoria de Galois
Próximo (2.3) →
Introdução aos módulos em álgebra abstrata

Comentários 



Anéis de polinômios

https://www.buddymath.com/g/2.2.4?bmal=pt