Теория Галуа

Теория Галуа, названная в честь математика Эвариста Галуа, представляет собой раздел абстрактной алгебры, который обеспечивает глубокую связь между теорией полей и теорией групп. Она позволяет понять симметрии, существующие внутри корней многочленов. Основная цель теории Галуа - предоставить всеобъемлющую основу для определения, когда многочлен можно решить в радикалах, то есть решения, выраженные с использованием сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней.

Поле

Прежде чем углубляться в теорию Галуа, важно понять концепцию поля. Поле - это множество, снабженное двумя операциями: сложением и умножением, которые удовлетворяют определенным условиям, подобно знакомым числовым системам, таким как рациональные числа, реальные числа и комплексные числа.

Формально, поле F - это множество с двумя операциями, обычно называемыми сложением и умножением, для которых выполняются следующие условия:

• Ассоциативность: Для любых a, b, c ∈ F, имеем (a + b) + c = a + (b + c) и (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c).
• Коммутативность: Для любых a, b ∈ F, имеем a + b = b + a и a cdot b = b cdot a.
• Единичный элемент: Существуют элементы 0 и 1 в F такие, что для каждого элемента a ∈ F, a + 0 = a и a cdot 1 = a.
• Обратный элемент: Для каждого a ∈ F существует элемент -a ∈ F (аддитивный обратный), такой что a + (-a) = 0 Более того, для каждого a ≠ 0 существует элемент a^(-1) ∈ F (мультипликативный обратный), такой что a cdot a^(-1) = 1.
• Дистрибутивность: Для всех a, b, c ∈ F, имеем a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c.

Векторы и многочлены

Многочлены играют важную роль в теории Галуа. Многочлен - это выражение вида:

p(x) = a_n cdot x^n + a_{n-1} cdot x^{n-1} + ... + a_1 cdot x + a_0

где a_i - коэффициенты из поля F, а x - переменная. Фундаментальной проблемой в алгебре является решение многочленов. Например:

f(x) = x^2 - 4x + 4

Корень в виде множителей многочлена x = 2 (x - 2)^2.

Расширения полей

Расширения полей фундаментальны для понимания теории Галуа. Если E - поле, содержащее подполе F, то E является расширением F, обозначается E/F.

F = mathbb{Q}, которые представляют собой поле рациональных чисел, и E = mathbb{Q}(sqrt{2}), которое содержит все числа вида a + bsqrt{2}, где a, b ∈ mathbb{Q} Ясно, что E содержит F, так как оно содержит каждое рациональное число (выбор b = 0).

Конструкция поля

Самый простой способ создать расширение поля - это добавить корни многочлена. Например, задан многочлен f(x) = x^2 - 2 с корнем sqrt{2}, можно создать расширение mathbb{Q}(sqrt{2}) для mathbb{Q}, в результате чего получается mathbb{Q}(sqrt{2})

Визуальный пример расширений полей

В этой иллюстрации F - базовое поле, а E - расширение поля. Множество E содержит F, и расширение E/F показывает, что E образуется путем добавления к F дополнительных элементов.

Автоморфизмы и группы Галуа

Чтобы глубже понять теорию Галуа, важно понять концепцию автоморфизма. Автоморфизм - это биективное отображение из поля в себя, которое соблюдает операции поля. Если F - поле, то автоморфизм sigma: F to F должен удовлетворять условиям:

• sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b) для любых a, b ∈ F
• sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b) для любых a, b ∈ F

Для расширения поля E/F автоморфизм E, который фиксирует каждый элемент F, называется полевым автоморфизмом. Множество всех таких автоморфизмов образует группу под композицией функций, называемую группой Галуа расширения, обозначаемой Gal(E/F).

Разбор простого примера

Рассмотрим многочлен x^2 - 2 над mathbb{Q}. Корни - это sqrt{2} и -sqrt{2}. Мы формируем расширение mathbb{Q}(sqrt{2}), состоящее из всех чисел a + bsqrt{2}, где a, b ∈ mathbb{Q}.

Группа Галуа этого расширения содержит два автоморфизма:

• Автоморфизм идентичности, который отображает каждый элемент на самого себя, sigma_1(x) = x.
• Автоморфизм sigma_2, который отправляет sqrt{2} в -sqrt{2} эффективно меняет их местами.

Основная теорема теории Галуа

Одним из самых фундаментальных результатов в теории Галуа является основная теорема теории Галуа. Она устанавливает глубокую связь между расширениями полей и связанными с ними группами Галуа.

Утверждение следующее:

Пусть E/F является расширением Галуа с группой Галуа G = Gal(E/F). Существует взаимно однозначное соответствие между подгруппами G и промежуточными полями K так, что для каждой подгруппы H G, F ⊆ K ⊆ E, соответствующее промежуточное поле является постоянным полем H, определяемым как:

K = { x ∈ E | sigma(x) = x text{ для всех } sigma ∈ H }

Эта корреспонденция раскрывает лежащую в основе симметрию решений многочленов и их алгебраические структуры. Она позволяет сделать вывод о возможности решения определенных многочленов в радикалах на основе свойств их групп Галуа.

Понимание основных принципов

I K F

Заключительное размышление

Теория Галуа изящно решает головоломку о многочленах, которые могут быть решены в радикалах, анализируя симметрии их корней. Её богатая взаимосвязь между полями и группами формирует один из главных столпов в абстрактной алгебре, оказывая глубокое влияние на многие области математики, включая теорию чисел и геометрию. Понимая и манипулируя расширениями полей, корнями многочленов и их симметриями при помощи групп Галуа, теория Галуа предоставляет мост между, казалось бы, разрозненными математическими понятиями, предлагая понимание глубоких структур, управляющих алгебраическими решениями.

комментарии