Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Teoria de Galois


A teoria de Galois, nomeada em homenagem ao matemático Évariste Galois, é um ramo da álgebra abstrata que estabelece uma conexão profunda entre a teoria dos corpos e a teoria dos grupos. Ela nos permite entender as simetrias dentro das raízes das equações polinomiais. O principal objetivo da teoria de Galois é fornecer uma estrutura abrangente para determinar quando uma equação polinomial pode ser resolvida por radicais, ou seja, soluções expressas utilizando adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes.

Corpo

Antes de nos aprofundarmos na teoria de Galois, é importante entender o conceito de corpo. Um corpo é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação, que satisfazem certas condições, assim como sistemas numéricos familiares, como números racionais, números reais e números complexos.

Formalmente, o corpo F é um conjunto com duas operações, comumente chamadas adição e multiplicação, para as quais as seguintes condições são satisfeitas:

  • Associatividade: Para quaisquer a, b, c ∈ F, temos (a + b) + c = a + (b + c) e (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c).
  • Comutatividade: Para quaisquer a, b ∈ F, temos a + b = b + a e a cdot b = b cdot a.
  • Elemento identidade: Existem elementos 0 e 1 em F tais que para todo elemento a ∈ F, a + 0 = a e a cdot 1 = a.
  • Inverso: Para todo a ∈ F, existe um elemento -a ∈ F (inverso aditivo) tal que a + (-a) = 0 Além disso, para todo a ≠ 0, existe um elemento a^(-1) ∈ F (inverso multiplicativo) tal que a cdot a^(-1) = 1.
  • Distributividade: Para todos a, b, c ∈ F, temos a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c.

Vetores e polinômios

Polinômios desempenham um papel importante na teoria de Galois. Um polinômio é uma expressão da forma:

p(x) = a_n cdot x^n + a_{n-1} cdot x^{n-1} + ... + a_1 cdot x + a_0

onde a_i são coeficientes do corpo F e x é uma variável. Um problema fundamental em álgebra é resolver equações polinomiais. Por exemplo:

f(x) = x^2 - 4x + 4

A raiz na forma de fatores do polinômio é x = 2 (x - 2)^2.

Extensões de corpos

As extensões de corpos são fundamentais para entender a teoria de Galois. Se E é um corpo contendo um subcorpo F, então E é uma extensão de F, escrito E/F.

F = mathbb{Q}, que é o corpo dos números racionais, e E = mathbb{Q}(sqrt{2}), que contém todos os números da forma a + bsqrt{2}, onde a, b ∈ mathbb{Q} Claramente, E contém F uma vez que contém todo número racional (tome b = 0).

Construção do corpo

A maneira mais simples de construir uma extensão de corpo é adicionar raízes de um polinômio. Por exemplo, dado um polinômio f(x) = x^2 - 2 com uma raiz de sqrt{2}, podemos construir uma extensão de mathbb{Q}(sqrt{2}) para mathbb{Q}, resultando em mathbb{Q}(sqrt{2})

Exemplo visual de extensões de corpos

F I E/F

Nesta ilustração, F é o corpo base, e E é um corpo de extensão. O conjunto E contém F, e a extensão E/F mostra que E é formado tomando todos os elementos de F e adicionando elementos adicionais.

Automorfismos e grupos de Galois

Para entender a teoria de Galois em profundidade, é importante compreender o conceito de automorfismo. Um automorfismo é um mapeamento bijetivo de um corpo para si mesmo que respeita as operações do corpo. Se F é um corpo, então o automorfismo sigma: F to F deve satisfazer:

  • sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b) para quaisquer a, b ∈ F
  • sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b) para quaisquer a, b ∈ F

Para uma extensão de corpo E/F, um automorfismo de E que fixa todo elemento de F é chamado de automorfismo de corpo. O conjunto de todos esses automorfismos forma um grupo sob composição de funções, chamado grupo de Galois da extensão, denotado Gal(E/F).

Explorando um exemplo simples

Considere o polinômio x^2 - 2 sobre mathbb{Q}. As raízes são sqrt{2} e -sqrt{2}. Formamos a extensão mathbb{Q}(sqrt{2}) que consiste em todos os números a + bsqrt{2} onde a, b ∈ mathbb{Q}.

O grupo de Galois dessa extensão contém dois automorfismos:

  • O automorfismo identidade que mapeia cada elemento em si mesmo, sigma_1(x) = x.
  • O automorfismo sigma_2 que envia sqrt{2} para -sqrt{2} efetivamente alternando entre as origens.

Teorema fundamental da teoria de Galois

Um dos resultados mais fundamentais na teoria de Galois é o teorema fundamental da teoria de Galois. Ele estabelece uma conexão profunda entre extensões de corpos e seus respectivos grupos de Galois.

A afirmação é a seguinte:

Deixe E/F ser uma extensão de Galois cujo grupo de Galois G = Gal(E/F). Existe uma correspondência um para um entre subgrupos de G e campos intermediários K tal que para todo subgrupo H de G F ⊆ K ⊆ E, o campo intermediário correspondente é o campo constante de H, definido como:

K = { x ∈ E | sigma(x) = x text{ para todo } sigma ∈ H }

Essa correspondência revela a simetria subjacente das soluções polinomiais e suas estruturas algébricas. Permite-nos concluir se certas equações polinomiais podem ser resolvidas por radicais com base nas propriedades de seus grupos de Galois.

Entendendo os princípios básicos

I K F

Reflexão conclusiva

A teoria de Galois aborda elegantemente o enigma das equações polinomiais que podem ser resolvidas em radicais ao analisar as simetrias de suas raízes. Sua rica interconexão entre corpos e grupos forma um pilar importante na álgebra abstrata, influenciando profundamente muitas áreas da matemática, incluindo teoria dos números e geometria. Através do entendimento e manipulação de extensões de corpos, raízes de polinômios e suas simetrias via grupos de Galois, a teoria de Galois fornece uma ponte entre conceitos matemáticos aparentemente díspares, oferecendo insights nas estruturas profundas que regem soluções algébricas.


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