ガロア理論

ガロア理論は、数学者エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられた抽象代数学の一分野であり、体論と群論の間に深い接続を提供します。これは、方程式の根の対称性を理解するのに役立ちます。ガロア理論の主な目的は、方程式を根の抽出などの基本的な演算を使用して解くことが可能かを決定するための包括的な枠組みを備えることです。

体

ガロア理論を深く探る前に、体の概念を理解することが重要です。体は、特定の条件を満たす2つの演算（加法と乗法）を備えた集合であり、有理数、実数、複素数などの数と同じように動作します。

形式的には、F という体は、通常加法と乗法と呼ばれる2つの演算を持ち、以下の条件が成り立つ集合です：

• 結合律: 任意の a, b, c ∈ F に対して、(a + b) + c = a + (b + c) および (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)。
• 可換律: 任意の a, b ∈ F に対して、a + b = b + a および a cdot b = b cdot a。
• 単位元: F には、任意の元素 a ∈ F に対し、a + 0 = a および a cdot 1 = a となる 0 および 1 という元素があります。
• 逆元: 任意の a ∈ F に対し、a + (-a) = 0 となる元素 -a ∈ F （加法逆元）が存在します。また、a ≠ 0 に対して、a cdot a^{-1} = 1 となる元素 a^{-1} ∈ F （乗法逆元）が存在します。
• 分配律: 全ての a, b, c ∈ F に対して、a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c。

ベクトルと多項式

多項式はガロア理論において重要な役割を果たします。多項式は次の形式の式です：

p(x) = a_n cdot x^n + a_{n-1} cdot x^{n-1} + ... + a_1 cdot x + a_0

ここで a_i は体 F からの係数であり、x は変数です。代数学の基本問題は多項式方程式を解くことです。例えば：

f(x) = x^2 - 4x + 4

多項式の根の因数形は x = 2 (x - 2)^2 です。

体の拡大

体の拡大はガロア理論を理解する上で基本的です。もし E が部分体 F を含む体であれば、E は F の拡大体であり、E/F と書かれます。

F = mathbb{Q} は有理数の体であり、E = mathbb{Q}(sqrt{2}) は全ての形式 a + bsqrt{2} の数を含む体です。ここで a, b ∈ mathbb{Q} です。E は F を含むので、それは全有理数を含む（税込 b = 0）。

体の構築

体の拡大を構築する最も簡単な方法は、多項式の根を追加することです。例えば、f(x) = x^2 - 2 という多項式があったとき、その根として sqrt{2} を持ちます。我々は、この結果として mathbb{Q}(sqrt{2}) への拡張を構築します。

体の拡張のビジュアル例

この図において、F は基礎体で、E は拡大体です。E は F を含み、E/F の拡張は、F の全ての要素を取り、それに余分な要素を追加した形で E が形成されていることを示しています。

自己同型とガロア群

ガロア理論を深く理解するには、自己同型の概念を理解することが重要です。自己同型とは、体から自身への全単射写像で、体の演算を守るものである。もし F が体であれば、自己同型 sigma: F to F は次を満たさねばなりません：

• sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b) 任意の a, b ∈ F に対して
• sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b) 任意の a, b ∈ F に対して

体拡大 E/F において、F のすべての見積もりを保持する E の自己同型は体の自己同型と呼ばれます。この自己同型の集合は関数合成の下で群を形成し、この拡大のガロア群と呼ばれ、Gal(E/F) と表記されます。

簡単な例の探求

方程式 x^2 - 2 を mathbb{Q}について考えてみましょう。その根は sqrt{2} と -sqrt{2} です。我々は拡張 mathbb{Q}(sqrt{2}) を形作ります。これは全ての数 a + bsqrt{2} を含みます。ここで a, b ∈ mathbb{Q} です。

この拡張のガロア群は2つの自己同型を含みます：

• アイデンティティ自己同型、これは全ての要素を自身に写像します、sigma_1(x) = x。
• 自己同型 sigma_2 は sqrt{2} を -sqrt{2} に送り、起源を互いに切り替えます。

ガロア理論の基本定理

ガロア理論における最も基本的な結果の一つはガロア理論の基本定理です。これは体の拡大とその関連するガロア群の間に深いつながりを確立します。

そのステートメントは次の通りです：

E/F をガロア拡大とし、そのガロア群 G = Gal(E/F) とする。このとき、G の部分群と中間体 K の間に一対一の対応が存在し、任意の部分群 H に対して F ⊆ K ⊆ E であり、対応する中間体は H のための定数体として定義されます：

K = { x ∈ E | sigma(x) = x text{ for all } sigma ∈ H }

この対応は多項式の解とその代数構造の基礎的な対称性を明らかにします。この対応により、多項式方程式がそのガロア群の性質を基にして根号で解けるかどうかを結論付けることが可能です。

基本原理の理解

I K F

結論的考察

ガロア理論は多項式方程式の根の対称性を分析することにより、その根号で解くことができるパズルを優雅に解き明かします。体と群をつなぐ豊富な相互関係は抽象代数学の主要な柱を形成し、数論や幾何を含む多くの数学領域に深く影響を与えます。体の拡張、多項式の根、その対称性をガロア群を通じて理解し操作することで、ガロア理論は異なる数学概念の間の架け橋を提供し、代数的解の背後にある深い構造を洞察させます。

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