Teoría de Galois

La teoría de Galois, nombrada así por el matemático Évariste Galois, es una rama del álgebra abstracta que proporciona una conexión profunda entre la teoría de campos y la teoría de grupos. Nos permite entender las simetrías dentro de las raíces de las ecuaciones polinomiales. El propósito principal de la teoría de Galois es proporcionar un marco comprensivo para determinar cuándo una ecuación polinomial se puede resolver por radicales, es decir, soluciones expresadas mediante suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces.

Campo

Antes de profundizar en la teoría de Galois, es importante entender el concepto de un campo. Un campo es un conjunto equipado con dos operaciones: suma y multiplicación, que satisfacen ciertas condiciones, muy similar a los sistemas numéricos familiares como los números racionales, los números reales y los números complejos.

Formalmente, el campo F es un conjunto con dos operaciones, comúnmente llamadas suma y multiplicación, para las cuales se cumplen las siguientes condiciones:

• Asociatividad: Para cualquier a, b, c ∈ F, tenemos (a + b) + c = a + (b + c) y (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c).
• Conmutatividad: Para cualquier a, b ∈ F, tenemos a + b = b + a y a cdot b = b cdot a.
• Elemento identidad: Existen elementos 0 y 1 en F tal que para cada elemento a ∈ F, a + 0 = a y a cdot 1 = a.
• Inverso: Para cada a ∈ F, existe un elemento -a ∈ F (un inverso aditivo) tal que a + (-a) = 0 Además, para cada a ≠ 0, existe un elemento a^(-1) ∈ F (un inverso multiplicativo) tal que a cdot a^(-1) = 1.
• Distributividad: Para todos a, b, c ∈ F, tenemos a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c.

Vectores y polinomios

Los polinomios juegan un papel importante en la teoría de Galois. Un polinomio es una expresión de la forma:

p(x) = a_n cdot x^n + a_{n-1} cdot x^{n-1} + ... + a_1 cdot x + a_0

donde a_i son coeficientes del campo F y x es una variable. Un problema fundamental en álgebra es resolver ecuaciones polinomiales. Por ejemplo:

f(x) = x^2 - 4x + 4

La raíz en forma de factores polinomiales es x = 2 (x - 2)^2.

Extensiones de campo

Las extensiones de campo son fundamentales para entender la teoría de Galois. Si E es un campo que contiene un subcampo F, entonces E es una extensión de F, se escribe E/F.

F = mathbb{Q}, que es el campo de los números racionales, y E = mathbb{Q}(sqrt{2}), que contiene todos los números de la forma a + bsqrt{2}, donde a, b ∈ mathbb{Q} Claramente, E contiene F ya que contiene cada número racional (tomar b = 0).

Construcción del campo

La forma más sencilla de construir una extensión de campo es agregar raíces de un polinomio. Por ejemplo, dado un polinomio f(x) = x^2 - 2 con una raíz de sqrt{2}, podemos construir una extensión de mathbb{Q}(sqrt{2}) a mathbb{Q}, obteniendo mathbb{Q}(sqrt{2})

Ejemplo visual de extensiones de campo

En esta ilustración, F es el campo base, y E es un campo de extensión. El conjunto E contiene F, y la extensión E/F muestra que E se forma tomando todos los elementos de F y agregando elementos adicionales.

Automorfismos y grupos de Galois

Para entender a fondo la teoría de Galois, es importante entender el concepto de automorfismo. Un automorfismo es un mapeo biyectivo de un campo consigo mismo que respeta las operaciones del campo. Si F es un campo, entonces el automorfismo sigma: F to F debe cumplir:

• sigma(a + b) = sigma(a) + sigma(b) para cualquier a, b ∈ F
• sigma(a cdot b) = sigma(a) cdot sigma(b) para cualquier a, b ∈ F

Para una extensión de campo E/F, un automorfismo de E que fija cada elemento de F se llama un automorfismo de campo. El conjunto de todos esos automorfismos forma un grupo bajo la composición de funciones, llamado el grupo de Galois de la extensión, denotado Gal(E/F).

Explorando un ejemplo simple

Consideremos el polinomio x^2 - 2 sobre mathbb{Q}. Las raíces son sqrt{2} y -sqrt{2}. Formamos la extensión mathbb{Q}(sqrt{2}) que consiste en todos los números a + bsqrt{2} donde a, b ∈ mathbb{Q}.

El grupo de Galois de esta extensión contiene dos automorfismos:

• El automorfismo identidad que mapea cada elemento consigo mismo, sigma_1(x) = x.
• El automorfismo sigma_2 que envía sqrt{2} a -sqrt{2} efectivamente alterna entre los orígenes.

Teorema fundamental de la teoría de Galois

Uno de los resultados más fundamentales de la teoría de Galois es el teorema fundamental de la teoría de Galois. Establece una conexión profunda entre las extensiones de campo y sus grupos de Galois asociados.

La declaración es la siguiente:

Sea E/F una extensión de Galois cuyo grupo de Galois G = Gal(E/F). Existe una correspondencia uno a uno entre subgrupos de G y campos intermedios K tal que para cada subgrupo H de G F ⊆ K ⊆ E, el campo intermedio correspondiente es el campo constante de H, definido como:

K = { x ∈ E | sigma(x) = x text{ para todo } sigma ∈ H }

Esta correspondencia revela la simetría subyacente de las soluciones polinomiales y sus estructuras algebraicas. Nos permite concluir si ciertas ecuaciones polinomiales se pueden resolver por radicales basándose en las propiedades de sus grupos de Galois.

Entendiendo los principios básicos

I K F

Reflexión final

La teoría de Galois aborda elegantemente el rompecabezas de las ecuaciones polinomiales que pueden resolverse en radicales analizando las simetrías de sus raíces. Su rica interconexión entre campos y grupos forma un pilar importante en el álgebra abstracta, influyendo profundamente en muchas áreas de las matemáticas, incluida la teoría de números y la geometría. A través del entendimiento y manipulación de extensiones de campo, raíces polinomiales y sus simetrías a través de grupos de Galois, la teoría de Galois proporciona un puente entre conceptos matemáticos aparentemente dispares, ofreciendo una visión de las estructuras profundas que rigen las soluciones algebraicas.

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