Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Extensões de campos


No campo da álgebra abstrata, o conceito de "extensões de campos" é um tópico fascinante e amplo que explora as profundezas das estruturas matemáticas além da compreensão elementar dos números e operações. As extensões de campos fornecem uma estrutura para entender como campos maiores e mais complexos são construídos a partir de campos menores, assim como um mundo maior é construído a partir dos microscópicos. Esta exposição discutirá em profundidade o que são extensões de campos, como elas diferem de espaços vetoriais, e como os polinômios desempenham um papel fundamental na sua construção e compreensão.

Noções básicas de campo

Antes de começarmos a explorar extensões de campos, é importante entender o que são campos. Na álgebra abstrata, um campo é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação, para as quais o conjunto é fechado, associativo, comutativo, possui elementos identidade, e todo elemento não zero tem um inverso.

Exemplos de campos incluem:

  • O campo dos números racionais ( mathbb{Q} )
  • O campo dos números reais ( mathbb{R} )
  • O campo dos números complexos ( mathbb{C} )

Definindo extensões de campos

Uma extensão de campo é um par de campos ( E supset F ), onde o campo menor ( F ) é um subcampo do campo maior ( E ). Isso significa que as operações e elementos de ( F ) estão contidos em ( E ), e as operações de ( F ) são as mesmas dentro de ( E ). O campo ( E ) é chamado uma extensão de ( F ).

Considere o simples exemplo do campo dos números racionais: ( mathbb{Q} ).

[ mathbb{Q} = { a/b | a, b in mathbb{Z}, b neq 0 } ]

A extensão de campo pode ser o campo dos números reais, contendo todos os números racionais e elementos adicionais que o completam como um conjunto de números reais.

Visualizando extensões de campos

Para entender o conceito de extensão de campo, imagine um círculo (denotado como (mathbb{Q}) ) dentro de um círculo maior (denotado como (mathbb{R}) ). Tudo o que está no círculo menor de (mathbb{Q}) ) faz parte do círculo maior de (mathbb{R}) ), mas há outros elementos em (mathbb{R}).

(mathbb{Q}) (mathbb{R})

Grau de expansão do campo

O grau de uma extensão de campo refere-se à dimensão do campo maior (E) como um espaço vetorial sobre o campo menor (F). Se (E) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre (F), então a extensão é dita ter grau finito.

O grau é denotado como ([E:F]). Por exemplo, se ( E = mathbb{Q}(sqrt{2})), o campo obtido ao unir (sqrt{2}) a (mathbb{Q}), tem grau ([E:F] = 2) já que a base é ({1, sqrt{2}}).

Construção de extensões de campos

Após entender o que são campos e extensões de campos, seguimos para a construção de extensões de campos. O processo de soma envolve adicionar elementos ao campo para que ele se torne maior e possivelmente contenha raízes adjacentes de polinômios.

Por exemplo, considere o polinômio:

f(x) = x^2 - 2

Este polinômio não tem raízes em (mathbb{Q}), mas podemos "estender" (mathbb{Q}) para incluir as raízes. A extensão de campo (mathbb{Q}(sqrt{2})) contém todos os números da forma (a + bsqrt{2}) onde (a, b in mathbb{Q}).

Exemplo visual de simples extensões de campos

Imagine uma linha numérica para (mathbb{Q}) e uma linha numérica estendida consistindo de pontos como (sqrt{2}).

0 1 -1 (sqrt{2})

Extensão algébrica versus transcendental

As extensões de campo podem ser classificadas em dois tipos: extensões algébricas e transcendentais. Um elemento (alpha) em uma extensão de campo (E) de um campo (F) é chamado algébrico sobre (F) se satisfaz uma equação polinomial com coeficientes em (F).

Considere o exemplo de (mathbb{Q}(sqrt{2})) onde (sqrt{2}) é algébrico sobre (mathbb{Q}) porque satisfaz:

[sqrt{2}^2 - 2 = 0]

No entanto, na extensão (mathbb{Q}(pi)), (pi) não é algébrico sobre (mathbb{Q}) e é, portanto, chamado de número transcendental porque não existe um polinômio com coeficientes racionais para o qual (pi) é uma raiz.

Exemplo textual de um campo estendido

Vamos explorar a expansão de campo usando o exemplo de raízes quadradas:

Exemplo: Encontre a extensão de campo ( F = mathbb{Q}(sqrt{5}) ).

Solução: Comece com (mathbb{Q}), que é o conjunto dos números racionais. O campo de extensão (mathbb{Q}(sqrt{5})) contém todos os elementos da forma (a + bsqrt{5}), onde (a, b in mathbb{Q}).

Isto porque um elemento normal deste campo pode ser obtido ao se tomar combinações lineares racionais dos elementos base ({1, sqrt{5}}). Assim, ([F:mathbb{Q}] = 2).

Papel dos polinômios na expansão do campo

Os polinômios são fundamentais para entender e trabalhar com extensões de campos. Um conceito essencial é o polinômio mínimo de um elemento (alpha) dentro de um campo de extensão (E) sobre um campo (F).

O polinômio mínimo de um elemento (alpha) é o polinômio mónico de menor grau em (F[x]) do qual (alpha) é uma raiz.

Por exemplo, se (alpha = sqrt{5}), então o polinômio mínimo sobre (mathbb{Q}) é:

x^2 - 5

Encontrar esses polinômios mínimos ajuda a formular e entender extensões de campos porque eles fornecem as restrições necessárias para resolver e expressar elementos sobre um campo maior.

Resumo e fechamento

As extensões de campos são um conceito poderoso na álgebra abstrata, proporcionando uma maneira de ampliar sistematicamente o escopo dos campos para incluir mais números, enquanto respeita as estruturas e operações subjacentes. Das operações básicas nos números racionais à inclusão de números mais exóticos, como números imaginários ou complexos, ou números transcendentais, as extensões de campos fornecem uma ponte essencial para reconciliar o finito e o infinito no pensamento matemático.

Elas desempenham um papel vital em muitas áreas da matemática e suas aplicações, incluindo a resolução de equações polinomiais, compreensão da estrutura dos números e o trabalho em problemas mais complexos em álgebra, teoria dos números e além. Uma compreensão sólida da teoria dos campos facilita a exploração de conceitos matemáticos mais profundos e aplicações avançadas.


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