Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Extensiones de campos


En el campo del álgebra abstracta, el concepto de "extensiones de campos" es un tema fascinante y amplio que explora las profundidades de las estructuras matemáticas más allá de la comprensión elemental de números y operaciones. Las extensiones de campos proporcionan un marco para entender cómo se construyen campos más grandes y complejos a partir de campos más pequeños, tal como un mundo más grande se construye a partir de los microscópicos. Esta exposición discutirá en profundidad qué son las extensiones de campos, cómo se diferencian de los espacios vectoriales, y cómo los polinomios desempeñan un papel clave en su construcción y comprensión.

Básicos de campos

Antes de comenzar a explorar las extensiones de campos, es importante entender qué son los campos. En álgebra abstracta, un campo es un conjunto equipado con dos operaciones: adición y multiplicación, para las cuales el conjunto es cerrado, asociativo, conmutativo, tiene elementos de identidad, y cada elemento no cero tiene un inverso.

Ejemplos de campos incluyen:

  • El campo de los números racionales ( mathbb{Q} )
  • El campo de los números reales ( mathbb{R} )
  • El campo de los números complejos ( mathbb{C} )

Definición de extensiones de campos

Una extensión de campo es un par de campos ( E supset F ), donde el campo más pequeño ( F ) es un subcampo del campo más grande ( E ). Esto significa que las operaciones y los elementos de ( F ) están contenidos en ( E ), y las operaciones de ( F ) son las mismas dentro de ( E ). El campo ( E ) se llama una extensión de ( F ).

Considere el ejemplo simple del campo de los números racionales: ( mathbb{Q} ).

[ mathbb{Q} = { a/b | a, b in mathbb{Z}, b neq 0 } ]

La extensión de campo puede ser el campo de los números reales, que contiene todos los números racionales y elementos adicionales que lo completan como un conjunto de números reales.

Visualización de extensiones de campos

Para entender el concepto de extensión de campo, imagine un círculo (denotado como (mathbb{Q})) dentro de un círculo más grande (denotado como (mathbb{R})). Todo lo que está en el círculo más pequeño de (mathbb{Q}) es parte del círculo más grande de (mathbb{R}), pero hay otros elementos en (mathbb{R}).

(mathbb{Q}) (mathbb{R})

Grado de expansión de campo

El grado de una extensión de campo se refiere a la dimensión del campo más grande (E) como un espacio vectorial sobre el campo más pequeño (F). Si (E) es un espacio vectorial de dimensión finita sobre (F), entonces se dice que la extensión tiene grado finito.

El grado se denota como ([E:F]). Por ejemplo, si ( E = mathbb{Q}(sqrt{2})), el campo obtenido al adjuntar (sqrt{2}) a (mathbb{Q}), tiene grado ([E:F] = 2) ya que la base es ({1, sqrt{2}}).

Construcción de extensiones de campos

Después de entender qué son los campos y las extensiones de campos, pasamos a la construcción de extensiones de campos. El proceso de suma implica añadir elementos al campo de modo que se haga más grande y posiblemente contenga raíces adyacentes de polinomios.

Por ejemplo, considere el polinomio:

f(x) = x^2 - 2

Este polinomio no tiene raíces en (mathbb{Q}), pero podemos "extender" (mathbb{Q}) para incluir las raíces. La extensión de campo (mathbb{Q}(sqrt{2})) contiene todos los números de la forma (a + bsqrt{2}) donde (a, b in mathbb{Q}).

Ejemplo visual de extensiones de campo simples

Imagine una línea numérica para (mathbb{Q}) y una línea numérica extendida que consiste en puntos como (sqrt{2}).

0 1 -1 (sqrt{2})

Extensión algebraica versus trascendental

Las extensiones de campos pueden clasificarse en dos tipos: extensiones algebraicas y trascendentales. Un elemento (alpha) en una extensión de campo (E) de un campo (F) se llama algebraico sobre (F) si satisface una ecuación polinómica con coeficientes en (F).

Considere el ejemplo de (mathbb{Q}(sqrt{2})) donde (sqrt{2}) es algebraico sobre (mathbb{Q}) porque satisface:

[sqrt{2}^2 - 2 = 0]

Sin embargo, en la extensión (mathbb{Q}(pi)), (pi) no es algebraico sobre (mathbb{Q}) y por lo tanto se llama un número trascendental porque no hay un polinomio con coeficientes racionales para el cual (pi) sea raíz.

Ejemplo textual de un campo extendido

Exploremos la expansión de campo usando el ejemplo de raíces cuadradas:

Ejemplo: Encuentra la extensión de campo ( F = mathbb{Q}(sqrt{5}) ).

Solución: Comience con (mathbb{Q}), que son los números racionales. El campo de extensión (mathbb{Q}(sqrt{5})) contiene todos los elementos de la forma (a + bsqrt{5}), donde (a, b in mathbb{Q}).

Esto se debe a que un elemento normal de este campo puede obtenerse tomando combinaciones lineales racionales de los elementos base ({1, sqrt{5}}). Así, ([F:mathbb{Q}] = 2).

Rol de los polinomios en la expansión de áreas

Los polinomios son fundamentales para entender y trabajar con extensiones de campos. Un concepto esencial es el polinomio mínimo de un elemento (alpha) dentro de un campo de extensión (E) sobre un campo (F).

El polinomio mínimo de un elemento (alpha) es el polinomio mónico de menor grado en (F[x]) cuya raíz es (alpha).

Por ejemplo, si (alpha = sqrt{5}), entonces el polinomio mínimo sobre (mathbb{Q}) es:

x^2 - 5

Encontrar estos polinomios mínimos ayuda a formular y comprender extensiones de campos porque proporcionan las restricciones necesarias para resolver y expresar elementos sobre un campo más grande.

Resumen y cierre

Las extensiones de campos son un concepto poderoso en el álgebra abstracta, proporcionando una manera de extender sistemáticamente el alcance de los campos para incluir más números mientras se respetan las estructuras y operaciones subyacentes. Desde operaciones básicas en números racionales hasta la inclusión de números más exóticos como números imaginarios o complejos, o números trascendentales, las extensiones de campos proporcionan un puente esencial hacia la reconciliación de lo finito y lo infinito en el pensamiento matemático.

Juegan un papel vital en muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, incluyendo la resolución de ecuaciones polinómicas, la comprensión de la estructura de los números y el trabajo en problemas más complejos en álgebra, teoría de números, y más allá. Una comprensión sólida de la teoría de campos facilita una exploración más profunda de conceptos matemáticos más avanzados y aplicaciones avanzadas.


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