正规子群简介

在抽象代数中，群论是一个主要的研究领域。它通过一个严谨的方法来理解数学系统中的对称性和结构。在这个关于群的讨论中，子群的概念是核心内容，其中有一种特殊的子群称为"正规子群"。本文将详细探讨正规子群，展示其理论基础和概念重要性。

群论的基本概念

在深入探讨正规子群之前，让我们回顾一下群的一些基本概念。一个群 (G) 是一个设有二元运算 ((cdot)) 的集合，它满足四个基本属性：

1. 闭合性： 对于每一个 ( a, b in G )，这个运算的结果 ( a cdot b ) 也在 ( G ) 中。 
2. 结合律： 对于每一个 ( a, b, c in G )，((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))。 
3. 单位元： 存在一个元素 ( e in G ) 使得对每一个元素 ( a in G )，等式 ( e cdot a = a cdot e = a ) 成立。 
4. 逆元素： 对于每一个 ( a in G )，存在一个元素 ( b in G ) 使得 ( a cdot b = b cdot a = e )，其中 ( e ) 是单位元。

子群

子群是群自身的一个子集，并且在群运算下是闭合的，满足所有的群属性。考虑一个群 ( (G, cdot) )。如果一个子群 ( H subseteq G ) 满足：

1. 闭合性： 对于每一个 ( a, b in H )，结果 ( a cdot b in H )。 
2. 单位元： ( G ) 的单位元 ( e ) 在 ( H ) 中。
3. 逆元素： 对于每一个 ( a in H )，逆元素 ( a^{-1} in H )。

正规子群

正规子群是一种特殊的子群，在群中的左陪集和右陪集是相等的。正式来说，一个群 ( G ) 的子群 ( N ) 是正规子群当且仅当它满足：

[ gN = Ng text{ 对于所有 } g in G ]

这意味着对于群的每个元素，子群的元素形成陪集时是对称地相互作用的。如果 ( N ) 是 ( G ) 的一个正规子群，我们用 ( N trianglelefteq G ) 来表示。

陪集和正规子群的可视化

让我们考虑群 (S_3)，这是对三个元素的对称群，包含集合 {1, 2, 3} 的所有排列。

S_3 = { e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

S_3 有许多子群。考虑子群 ( H = { e, (1 2) } )。我们通过比较左陪集和右陪集验证 ( H trianglelefteq S_3 )：

H 的左陪集： quad gH eH = { e, (1 2) } \ 
(1 2)H = { (1 2), e } quad text{(同 eH)} \ 
(1 3)H = { (1 3), (1 2 3) } \ 
(2 3)H = { (2 3), (1 3 2) } \ 
(1 2 3)H = { (1 2 3), (1 3) } \ 
(1 3 2)H = { (1 3 2), (2 3) } 
H 的右陪集： quad Hg He = { e, (1 2) } \ 
H(1 2) = { (1 2), e } quad text{(同 He)} \ 
H(1 3) = { (1 3), (1 2 3) } \ 
H(2 3) = { (2 3), (1 3 2) } \ 
H(1 2 3) = { (1 2 3), (1 3) } \ 
H(1 3 2) = { (1 3 2), (2 3) }

我们看到每一个左陪集 ( gH ) 都有一个对应的右陪集 ( Hg )。因此 ( H ) 是 ( S_3 ) 的正规子群。

代数性质及意义

正规子群之所以重要的一个主要原因是它们允许我们创建商群。如果 ( N trianglelefteq G )，那么我们可以使用如下运算定义陪集群 ( G/N )：

(aN) cdot (bN) = (ab)N

这样所有的陪集 ({aN mid a in G}) 在此运算下构成一个群，即商群 ( G/N )。

商群的例子

考虑( G = mathbb{Z} )，所有整数在加法下构成的群，和子群 ( N = 2mathbb{Z} )（所有偶数）。

( G ) 中 ( N ) 的左陪集：例如，( 0 + 2mathbb{Z} = { ldots, -4, -2, 0, 2, 4, ldots } = N ) \ 
( 1 + 2mathbb{Z} = { ldots, -3, -1, 1, 3, 5, ldots } ) \ 
这些陪集代表了商群 ( mathbb{Z}/2mathbb{Z} ) 的元素。运算是模 2 加法，此群同构于 ( mathbb{Z}_2 )，即模 2 整数。

常见的子群测试

要检查一个群 ( G ) 的子群 ( N ) 是否正规，可以使用正规子群测试：

当且仅当对于每一个 ( g in G ) 和 ( n in N )，元素 ( gng^{-1} ) 在 ( N ) 中，子群 ( N ) 才是 ( G ) 的正规子群。

gng^{-1} in N quad forall g in G, n in N

为什么正规子群很重要？

正规子群在群的整体结构理论中具有重要角色。它们使我们能够从现有群中构建新群（商群），从而更深入地研究这些群的性质和特征：

• 简化和分析：通过研究商群，我们可以常常将复杂的群分解为更易于分析和理解的简单组成部分。

• 对称性和不变性：正规子群捕捉了在群运算下保持不变的对称性，并在抽象代数与几何和物理对称性之间架起桥梁。

• 同构映射：理解正规子群有助于理解同构映射（群之间的结构保持映射）。它们直接对应于同构映射的核，有助于第一同构定理。

总之，正规子群为更深入地探索群及其复杂性提供了框架。理解这一概念扩展了我们处理基本代数结构的能力，并与数学和科学中的各种应用建立联系。

评论