Введение в нормальные подгруппы

В абстрактной алгебре теория групп является важной областью изучения. Она предлагает строгий подход к пониманию симметрии и структуры в математических системах. В центре обсуждения групп лежит концепция подгрупп, и существует особый вид подгрупп, называемый "нормальными подгруппами". Это подробное исследование нормальных подгрупп, демонстрирующее их теоретическую основу и концептуальную значимость.

Основные концепции теории групп

Прежде чем углубиться в нормальные подгруппы, давайте вспомним некоторые базовые концепции групп. Группа (G) — это множество, оснащенное бинарной операцией ((cdot)), которое удовлетворяет четырем фундаментальным свойствам:

1. Замкнутость: Для каждого ( a, b in G ), результат операции ( a cdot b ) также принадлежит ( G ). 
2. Ассоциативность: Для каждого ( a, b, c in G ), ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)). 
3. Единичный элемент: Существует элемент ( e in G ), такой что для каждого элемента ( a in G ), выполняется уравнение ( e cdot a = a cdot e = a ). 
4. Обратный элемент: Для каждого ( a in G ) существует элемент ( b in G ) такой что ( a cdot b = b cdot a = e ), где ( e ) — единичный элемент.

Подгруппы

Подгруппа — это подмножество группы, которое замкнуто относительно групповой операции и удовлетворяет всем групповым свойствам. Рассмотрим группу ( (G, cdot) ). Подмножество ( H subseteq G ) называется подгруппой, если:

1. Замкнутость: Для каждого ( a, b in H ), результат ( a cdot b in H ). 
2. Единичный элемент: Единичный элемент ( e ) группы ( G ) принадлежит ( H ).
3. Обратные элементы: Для каждого ( a in H ), обратный элемент ( a^{-1} in H ).

Нормальные подгруппы

Нормальные подгруппы — это особый тип подгрупп, где левые и правые смежные классы подгруппы в группе равны. Формально, подгруппа ( N ) группы ( G ) является нормальной, если выполняется:

[ gN = Ng text{ для всех } g in G ]

Это означает, что для каждого элемента группы элементы подгруппы взаимодействуют симметрично, образуя смежный класс. Если ( N ) — нормальная подгруппа группы ( G ), то мы обозначаем это как ( N trianglelefteq G ).

Визуализация смежных классов и нормальных подгрупп

Рассмотрим группу (S_3), симметрическую группу на трех элементах, состоящую из всех перестановок множества {1, 2, 3}.

S_3 = { e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

Группа (S_3) имеет множество подгрупп. Рассмотрим подгруппу ( H = { e, (1 2) } ). Мы проверяем, что ( H trianglelefteq S_3 ), сравнивая левые и правые смежные классы:

Левые смежные классы H: quad gH eH = { e, (1 2) } \ 
(1 2)H = { (1 2), e } quad text{(то же, что и eH)} \ 
(1 3)H = { (1 3), (1 2 3) } \ 
(2 3)H = { (2 3), (1 3 2) } \ 
(1 2 3)H = { (1 2 3), (1 3) } \ 
(1 3 2)H = { (1 3 2), (2 3) } 
Правые смежные классы H: quad Hg He = { e, (1 2) } \ 
H(1 2) = { (1 2), e } quad text{(то же, что и He)} \ 
H(1 3) = { (1 3), (1 2 3) } \ 
H(2 3) = { (2 3), (1 3 2) } \ 
H(1 2 3) = { (1 2 3), (1 3) } \ 
H(1 3 2) = { (1 3 2), (2 3) }

Мы видим, что каждый левый смежный класс ( gH ) имеет соответствующий правый смежный класс ( Hg ). Следовательно, ( H ) — нормальная подгруппа ( S_3 ).

Алгебраические свойства и значение

Одна из основных причин, почему нормальные подгруппы важны, заключается в том, что они позволяют создавать факторгруппы. Если ( N trianglelefteq G ), то мы можем определить группу смежных классов, ( G/N ), используя операцию:

(aN) cdot (bN) = (ab)N

Множество всех таких смежных классов ( {aN mid a in G} ) образует группу относительно этой операции, факторгруппу ( G/N ).

Пример факторгруппы

Рассмотрим ( G = mathbb{Z} ), группу всех целых чисел относительно сложения, и подгруппу ( N = 2mathbb{Z} ) (все четные числа).

Левые смежные классы ( N ) в ( G ): например, ( 0 + 2mathbb{Z} = { ldots, -4, -2, 0, 2, 4, ldots } = N ) \ 
( 1 + 2mathbb{Z} = { ldots, -3, -1, 1, 3, 5, ldots } ) \ 
Эти смежные классы представляют элементы факторгруппы ( mathbb{Z}/2mathbb{Z} ). Операция — сложение по модулю 2, и эта группа изоморфна ( mathbb{Z}_2 ), целым числам по модулю 2.

Общие тесты для проверки подгрупп

Чтобы проверить, является ли подгруппа ( N ) группы ( G ) нормальной, можно использовать тест на нормальность:

Подгруппа ( N ) группы ( G ) является нормальной в ( G ) тогда и только тогда, когда для каждого элемента ( g in G ) и ( n in N ) справедливо, что элемент ( gng^{-1} ) принадлежит ( N ).

gng^{-1} in N quad forall g in G, n in N

Почему нормальные подгруппы важны?

Нормальные подгруппы играют важную роль в общей теории структуры групп. Они позволяют создавать новые группы (факторгруппы) из существующих групп, что делает возможным глубокое изучение свойств и характеристик этих групп:

• Упрощение и анализ: Изучая факторгруппы, мы часто можем разбить сложные группы на более простые компоненты, которые легче анализировать и понимать.

• Симметрия и инвариантность: Нормальные подгруппы улавливают суть симметрий, сохраненных при групповых операциях, и пролегают между абстрактной алгеброй и геометрическими и физическими симметриями.

• Гомеоморфизмы: Понимание нормальных подгрупп дополнительно помогает в понимании гомеоморфизмов (отображений, сохраняющих структуру между группами). Они непосредственно соответствуют ядрам гомеоморфизмов, что помогает в первой теореме об изоморфизмах.

В заключение, нормальные подгруппы предоставляют основу для более глубокого изучения групп и их сложностей. Понимание этой концепции расширяет нашу способность работать с фундаментальными алгебраическими структурами и устанавливать связи с разнообразными приложениями в математике и науке.

комментарии