Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Introdução aos subgrupos normais


Na álgebra abstrata, a teoria dos grupos é uma área de estudo importante. Ela traz uma abordagem rigorosa para a compreensão da simetria e estrutura em sistemas matemáticos. No centro desta discussão sobre grupos está o conceito de subgrupos, e há um tipo especial de subgrupo chamado "subgrupo normal". Esta é uma exploração detalhada dos subgrupos normais, mostrando sua base teórica e importância conceitual.

Conceitos básicos da teoria dos grupos

Antes de mergulhar nos subgrupos normais, vamos recapitular alguns conceitos básicos de grupos. Um grupo (G) é um conjunto equipado com uma operação binária ((cdot)) que satisfaz quatro propriedades fundamentais:

1. Fecho: Para todo ( a, b in G ), o resultado da operação ( a cdot b ) também está em ( G ). 
2. Associatividade: Para todo ( a, b, c in G ), ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)). 
3. Elemento Identidade: Existe um elemento ( e in G ) tal que para todo elemento ( a in G ), a equação ( e cdot a = a cdot e = a ) é válida. 
4. Elemento Inverso: Para cada ( a in G ), existe um elemento ( b in G ) tal que ( a cdot b = b cdot a = e ), onde ( e ) é o elemento identidade.

Subgrupos

Um subgrupo é um subgrupo de um grupo que é fechado sob a operação do grupo e satisfaz todas as propriedades do grupo. Considere um grupo ( (G, cdot) ). Um subgrupo ( H subseteq G ) é chamado de subgrupo se:

1. Fecho: Para todo ( a, b in H ), o resultado ( a cdot b in H ). 
2. Identidade: O elemento identidade ( e ) de ( G ) está em ( H ).
3. Inversos: Para todo ( a in H ), o inverso ( a^{-1} in H ).

Subgrupos normais

Subgrupos normais são um tipo especial de subgrupo onde os cosets à esquerda e à direita do subgrupo no grupo são iguais. Formalmente, um subgrupo ( N ) de um grupo ( G ) é normal se satisfizer:

[ gN = Ng text{ para todo } g in G ]

Isso significa que para cada elemento do grupo, os elementos do subgrupo interagem simetricamente ao formarem um coset. Se ( N ) é um subgrupo normal de ( G ), então o denotamos por ( N trianglelefteq G ).

Visualização de cosets e subgrupos normais

Vamos considerar o grupo (S_3), o grupo simétrico em três elementos, consistindo de todas as permutações do conjunto {1, 2, 3}.

S_3 = { e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

S_3 tem muitos subgrupos. Considere o subgrupo ( H = { e, (1 2) } ). Verificamos ( H trianglelefteq S_3 ) comparando os cosets à esquerda e à direita:

Cosets à esquerda de H: quad gH eH = { e, (1 2) } \ 
(1 2)H = { (1 2), e } quad text{(igual a eH)} \ 
(1 3)H = { (1 3), (1 2 3) } \ 
(2 3)H = { (2 3), (1 3 2) } \ 
(1 2 3)H = { (1 2 3), (1 3) } \ 
(1 3 2)H = { (1 3 2), (2 3) } 
Cosets à direita de H: quad Hg He = { e, (1 2) } \ 
H(1 2) = { (1 2), e } quad text{(igual a He)} \ 
H(1 3) = { (1 3), (1 2 3) } \ 
H(2 3) = { (2 3), (1 3 2) } \ 
H(1 2 3) = { (1 2 3), (1 3) } \ 
H(1 3 2) = { (1 3 2), (2 3) }

Vemos que cada coset à esquerda ( gH ) tem um coset à direita correspondente ( Hg ). Portanto, ( H ) é um subgrupo normal de ( S_3 ).

Propriedades algébricas e significância

Uma das principais razões pelas quais os subgrupos normais são importantes é que eles nos permitem criar grupos quociente. Se ( N trianglelefteq G ), então podemos definir o grupo de cosets, ( G/N ), usando a operação:

(aN) cdot (bN) = (ab)N

O conjunto de todos esses cosets ( {aN mid a in G} ) forma um grupo sob essa operação, o grupo quociente ( G/N ).

Exemplo de um grupo quociente

Considere ( G = mathbb{Z} ), o grupo de todos os inteiros sob adição, e o subgrupo ( N = 2mathbb{Z} ) (todos os inteiros pares).

Cosets à esquerda de ( N ) em ( G ): por exemplo, ( 0 + 2mathbb{Z} = { ldots, -4, -2, 0, 2, 4, ldots } = N ) \ 
( 1 + 2mathbb{Z} = { ldots, -3, -1, 1, 3, 5, ldots } ) \ 
Esses cosets representam os elementos do grupo quociente ( mathbb{Z}/2mathbb{Z} ). A operação é a adição módulo 2, e este grupo é isomórfico para ( mathbb{Z}_2 ), os inteiros módulo 2.

Testes comuns de subgrupo

Para verificar se um subgrupo ( N ) de um grupo ( G ) é normal, você pode usar o teste de subgrupo normal:

Um subgrupo ( N ) de ( G ) é normal em ( G ) se e somente se para cada elemento ( g in G ) e ( n in N ), o elemento ( gng^{-1} ) está em ( N ).

gng^{-1} in N quad forall g in G, n in N

Por que os subgrupos normais são importantes?

Subgrupos normais desempenham um papel importante na teoria geral da estrutura dos grupos. Eles nos permitem construir novos grupos (grupos quociente) a partir de grupos existentes, tornando possível investigar em profundidade as propriedades e características desses grupos:

  • Simplificação e análise: Estudando os grupos quociente, podemos muitas vezes decompor grupos complexos em componentes mais simples que são mais fáceis de analisar e entender.

  • Simetria e invariância: Subgrupos normais capturam a essência das simetrias que permanecem invariantes sob operações de grupo e fazem a ponte entre álgebra abstrata e simetrias geométricas e físicas.

  • Homeomorfismos: Compreender subgrupos normais ajuda ainda mais a compreender homeomorfismos (mapeamentos que preservam a estrutura entre grupos). Eles correspondem diretamente aos núcleos dos homeomorfismos, o que ajuda no primeiro teorema do isomorfismo.

Em conclusão, subgrupos normais fornecem uma estrutura para explorar grupos e suas complexidades mais a fundo. Compreender esse conceito expande nossa capacidade de trabalhar com estruturas algébricas fundamentais e estabelece conexões com uma variedade de aplicações em matemática e ciência.


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