正規部分群の導入

抽象代数学では、群論は主要な研究分野です。それは、数学的システムにおける対称性と構造を理解するための厳密なアプローチを提供します。この群についての議論の中心に部分群の概念があり、特別な種類の部分群が「正規部分群」と呼ばれます。これは、正規部分群の理論的基盤と概念的重要性を示す詳細な探求です。

群論の基本概念

正規部分群に入る前に、群の基本概念を振り返りましょう。群 (G) は、二項演算 ((cdot)) を備えた集合であり、次の四つの基本的な性質を満たします:

1. 閉包性: 任意の ( a, b in G ) に対して、演算の結果 ( a cdot b ) も ( G ) に属します。 
2. 結合法則: 任意の ( a, b, c in G ) に対して、((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)) です。 
3. 単位元: ( G ) に元 ( e ) が存在して、任意の ( a in G ) に対して ( e cdot a = a cdot e = a ) です。 
4. 逆元: 任意の ( a in G ) に対して、( G ) に元 ( b ) が存在して ( a cdot b = b cdot a = e ) となり、ここで ( e ) は単位元です。

部分群

部分群は群自体の部分群であり、群の演算において閉じられ、すべての群の性質を満たします。群 ( (G, cdot) ) を考慮します。部分群 ( H subseteq G ) は次の場合に部分群と呼ばれます:

1. 閉包性: 任意の ( a, b in H ) に対し、演算結果 ( a cdot b in H )。 
2. 単位元: ( G ) の単位元 ( e ) が ( H ) に含まれます。
3. 逆元: 任意の ( a in H ) に対して、逆元 ( a^{-1} in H )。

正規部分群

正規部分群は、部分群の左コセットと右コセットが等しい特別な種類の部分群です。正式には、群 ( G ) の部分群 ( N ) が次を満たすとき、( N ) は正規部分群です:

[ gN = Ng text{ for all } g in G ]

これは、群の各要素に対して、サブグループの要素がコセットを形成する際に対称的に相互作用することを意味します。もし ( N ) が ( G ) の正規部分群であるならば、( N trianglelefteq G ) と表記されます。

コセットと正規部分群の可視化

{1, 2, 3} のすべての置換からなる 3 つの要素に対する対称群であるグループ (S_3) を考えます。

S_3 = { e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

S_3 には多くのサブグループがあります。部分群 ( H = { e, (1 2) } ) を考えます。左と右のコセットを比較することで、( H trianglelefteq S_3 ) を検証します:

左コセット: quad gH eH = { e, (1 2) } \ 
(1 2)H = { (1 2), e } quad text{(と eH は同じ)} \ 
(1 3)H = { (1 3), (1 2 3) } \ 
(2 3)H = { (2 3), (1 3 2) } \ 
(1 2 3)H = { (1 2 3), (1 3) } \ 
(1 3 2)H = { (1 3 2), (2 3) } 
右コセット: quad Hg He = { e, (1 2) } \ 
H(1 2) = { (1 2), e } quad text{(と He は同じ)} \ 
H(1 3) = { (1 3), (1 2 3) } \ 
H(2 3) = { (2 3), (1 3 2) } \ 
H(1 2 3) = { (1 2 3), (1 3) } \ 
H(1 3 2) = { (1 3 2), (2 3) }

すべての左コセット ( gH ) に対して対応する右コセット ( Hg ) があることがわかります。したがって、( H ) は ( S_3 ) の正規部分群です。

代数的特性と意義

正規部分群が重要である主な理由の一つは、剰余群を作成できることです。もし ( N trianglelefteq G ) ならば、次の操作を使用してコセットのグループ ( G/N ) を定義できます:

(aN) cdot (bN) = (ab)N

この操作の下、このようなすべてのコセットの集合 ( {aN mid a in G} ) は群を形成します。それが剰余群 ( G/N ) です。

剰余群の例

( G = mathbb{Z} )、つまり、加算の下でのすべての整数の群、および部分群 ( N = 2mathbb{Z} )（すべて偶数の整数）を考えます。

左コセット ( N ) の ( G ): 例, ( 0 + 2mathbb{Z} = { ldots, -4, -2, 0, 2, 4, ldots } = N ) \ 
( 1 + 2mathbb{Z} = { ldots, -3, -1, 1, 3, 5, ldots } ) \ 
これらのコセットは剰余群 ( mathbb{Z}/2mathbb{Z} ) の要素を表しています。操作は 2 を法とした加算であり、この群は ( mathbb{Z}_2 )（2 を法として整数）と同型です。

共通の部分群テスト

群 ( G ) のサブグループ ( N ) が正規であるかどうかを確認するには、正規部分群テストを使用できます:

群 ( G ) の部分群 ( N ) が ( G ) で正規であるのは、任意の要素 ( g in G ) と ( n in N ) に対して、要素 ( gng^{-1} ) が ( N ) に含まれる場合に限ります。

gng^{-1} in N quad forall g in G, n in N

なぜ正規部分群が重要なのか？

正規部分群は群の全体的な構造理論において重要な役割を果たします。既存の群から新しい群 (剰余群) を構築でき、それらの群の性質と特性を詳しく調べることが可能になります:

• 単純化と分析: 剰余群を研究することによって、複雑な群を簡単な要素に分解し、分析や理解が容易になります。

• 対称性と不変性: 正規部分群は、群操作の下で不変である対称性の本質を捉え、抽象代数学と幾何学的および物理的対称性を橋渡しします。

• 同相: 正規部分群の理解は、群間の構造保存写像である同相の理解にも役立ちます。それらは同相写像の核に直接対応し、第一同型定理を助けます。

結論として、正規部分群は群とその複雑さをより深く探求するためのフレームワークを提供します。この概念を理解することで、基礎的な代数的構造に取り組む能力が拡がり、数学や科学におけるさまざまな応用とのつながりが確立されます。

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