Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Introducción a los subgrupos normales


En álgebra abstracta, la teoría de grupos es un área importante de estudio. Ofrece un enfoque riguroso para comprender la simetría y la estructura en los sistemas matemáticos. En el núcleo de esta discusión sobre grupos se encuentra el concepto de subgrupos, y hay un tipo especial de subgrupo llamado "subgrupo normal". Esta es una exploración detallada de los subgrupos normales, mostrando su base teórica e importancia conceptual.

Conceptos básicos de la teoría de grupos

Antes de profundizar en los subgrupos normales, recordemos algunos conceptos básicos de los grupos. Un grupo (G) es un conjunto equipado con una operación binaria ((cdot)) que satisface cuatro propiedades fundamentales:

1. Cerradura: Para cada ( a, b in G ), el resultado de la operación ( a cdot b ) también está en ( G ). 
2. Asociatividad: Para cada ( a, b, c in G ), ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)). 
3. Elemento Identidad: Existe un elemento ( e in G ) tal que para cada elemento ( a in G ), se cumple la ecuación ( e cdot a = a cdot e = a ). 
4. Elemento Inverso: Para cada ( a in G ), existe un elemento ( b in G ) tal que ( a cdot b = b cdot a = e ), donde ( e ) es el elemento identidad.

Subgrupos

Un subgrupo es un subgrupo de un grupo en sí mismo que está cerrado bajo la operación de grupo y satisface todas las propiedades del grupo. Considere un grupo ( (G, cdot) ). Un subgrupo ( H subseteq G ) se llama subgrupo si:

1. Cerradura: Para cada ( a, b in H ), el resultado ( a cdot b in H ). 
2. Identidad: El elemento identidad ( e ) de ( G ) está en ( H ).
3. Inversos: Para cada ( a in H ), el inverso ( a^{-1} in H ).

Subgrupos normales

Los subgrupos normales son un tipo especial de subgrupo donde los laterales izquierdo y derecho del subgrupo en el grupo son iguales. Formalmente, un subgrupo ( N ) de un grupo ( G ) es normal si satisface:

[ gN = Ng text{ para todo } g in G ]

Esto significa que para cada elemento del grupo, los elementos del subgrupo interactúan simétricamente al formar un coset. Si ( N ) es un subgrupo normal de ( G ), entonces lo denotamos por ( N trianglelefteq G ).

Visualización de cosets y subgrupos normales

Consideremos el grupo (S_3), el grupo simétrico en tres elementos, que consiste en todas las permutaciones del conjunto {1, 2, 3}.

S_3 = { e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

S_3 tiene muchos subgrupos. Considere el subgrupo ( H = { e, (1 2) } ). Verificamos ( H trianglelefteq S_3 ) comparando los cosets izquierdo y derecho:

Cosets izquierdos de H: quad gH eH = { e, (1 2) } \ 
(1 2)H = { (1 2), e } quad text{(igual que eH)} \ 
(1 3)H = { (1 3), (1 2 3) } \ 
(2 3)H = { (2 3), (1 3 2) } \ 
(1 2 3)H = { (1 2 3), (1 3) } \ 
(1 3 2)H = { (1 3 2), (2 3) } 
Cosets derechos de H: quad Hg He = { e, (1 2) } \ 
H(1 2) = { (1 2), e } quad text{(igual que He)} \ 
H(1 3) = { (1 3), (1 2 3) } \ 
H(2 3) = { (2 3), (1 3 2) } \ 
H(1 2 3) = { (1 2 3), (1 3) } \ 
H(1 3 2) = { (1 3 2), (2 3) }

Vemos que cada coset izquierdo ( gH ) tiene un coset derecho correspondiente ( Hg ). Por lo tanto, ( H ) es un subgrupo normal de ( S_3 ).

Propiedades algebraicas e importancia

Una de las principales razones por las que los subgrupos normales son importantes es que nos permiten crear grupos cociente. Si ( N trianglelefteq G ), entonces podemos definir el grupo de cosets, ( G/N ), utilizando la operación:

(aN) cdot (bN) = (ab)N

El conjunto de todos esos cosets ( {aN mid a in G} ) forma un grupo bajo esta operación, el grupo cociente ( G/N ).

Ejemplo de un grupo cociente

Considere ( G = mathbb{Z} ), el grupo de todos los enteros bajo la adición, y el subgrupo ( N = 2mathbb{Z} ) (todos los enteros pares).

Cosets izquierdos de ( N ) en ( G ): eg, ( 0 + 2mathbb{Z} = { ldots, -4, -2, 0, 2, 4, ldots } = N ) \ 
( 1 + 2mathbb{Z} = { ldots, -3, -1, 1, 3, 5, ldots } ) \ 
Estos cosets representan los elementos del grupo cociente ( mathbb{Z}/2mathbb{Z} ). La operación es suma módulo 2, y este grupo es isomorfo a ( mathbb{Z}_2 ), los enteros módulo 2.

Pruebas comunes de subgrupos

Para verificar si un subgrupo ( N ) de un grupo ( G ) es normal, puede usar la prueba del subgrupo normal:

Un subgrupo ( N ) de ( G ) es normal en ( G ) si y solo si para cada elemento ( g in G ) y ( n in N ), el elemento ( gng^{-1} ) está en ( N ).

gng^{-1} in N quad forall g in G, n in N

¿Por qué son importantes los subgrupos normales?

Los subgrupos normales juegan un papel importante en la teoría estructural general de los grupos. Nos permiten construir nuevos grupos (grupos cociente) a partir de grupos existentes, lo que hace posible investigar las propiedades y características de estos grupos en profundidad:

  • Simplificación y análisis: Al estudiar grupos cociente, a menudo podemos descomponer grupos complejos en componentes más simples que son más fáciles de analizar y entender.

  • Simetría e invariancia: Los subgrupos normales capturan la esencia de las simetrías que permanecen invariantes bajo operaciones de grupo y conectan la brecha entre el álgebra abstracta y las simetrías geométricas y físicas.

  • Homeomorfismos: Entender los subgrupos normales ayuda aún más en la comprensión de los homeomorfismos (mapeos que preservan la estructura entre grupos). Corresponden directamente a los núcleos de los homeomorfismos, lo que ayuda en el primer teorema de isomorfismo.

En conclusión, los subgrupos normales proporcionan un marco para explorar grupos y sus complejidades más profundamente. Comprender este concepto amplía nuestra capacidad para trabajar con estructuras algebraicas fundamentales y establece conexiones con una variedad de aplicaciones en matemáticas y ciencia.


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