抽象代数中的群定义和例子
群的介绍
在数学的世界中，特别是抽象代数领域，群的概念扮演着重要的角色。群是与一个操作结合在一起的一组元素，并满足四个基本性质：闭合性、结合性、单位元和可逆性。通过群论的视角，可以以实际的方式分析和理解抽象结构。
群的基本定义
群是一个二元组(G, *)，其中G是一个集合，*是在G上的一个二元运算（即*接受G中的任意两元素a和b并返回G中的一个元素a * b），并满足以下四个性质：
- 闭合性：对于任何
a, b在G中，a * b也在G中 - 结合性：对于
G中的任何a, b, c，(a * b) * c = a * (b * c) - 单位元：在
G中存在一个元素e，对于G中的每一个元素a，e * a = a * e = a。 - 可逆元素：对于
G中的每一个元素a，存在G中的一个元素b，使得a * b = b * a = e，此处e是单位元。
群的例子
例子1：整数在加法下
考虑整数集合Z加法运算(Z, +)。我们需要验证所有性质以确认(Z, +)是一个群。
- 闭合性：给定任意整数
a和b，和a + b也是整数。因此，该集合在加法下是闭合的。 - 结合性：对于任意整数
a,b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。 - 单位元：整数
0作为单位元，因为对于任意整数a，a + 0 = 0 + a = a。 - 逆元素：对于任意整数
a，-a是整数且a + (-a) = (-a) + a = 0。
例子2：实数在乘法下（不含零）
考虑非零实数的群R*在乘法下，记作(R*,.)。我们在这里研究群的性质。
- 闭合性：对于任何两个非零实数
a和b，积a * b是非零实数。 - 结合性：对于任意实数
a, b, c，(a * b) * c = a * (b * c) - 单位元：数字
1作为单位元，因为对于任意实数a，a * 1 = 1 * a = a。 - 逆元素：对于任何非零实数
a，存在逆1/a，使得a * (1/a) = (1/a) * a = 1。
例子3：对称群
对称群S_n由有限集合n个元素的所有排列组成。让我们考虑对称群S_3在三个元素上的作用。
对于集合{1, 2, 3}，S_3中的一个元素是一个排列，例如(1 2 3) -> (3 1 2)。S_3中的操作是函数组合。
- 闭合性：任何两个排列的组合产生另一个排列。
- 结合性：任务结构是结合的。
- 单位元：单位排列不改变元素，
(abc) -> (abc)。 - 逆元素：每个排列都有一个逆可以恢复顺序。
可视化表示
为了更好地理解群的结构，可以想象几何对象中的对称性这个既复杂又有趣的世界。让我们想象一个基本例子，涉及群的对称性：
例子4：等边三角形的对称性
考虑一个等边三角形，顶点为A，B和C。它的对称性，比如旋转和反射，形成一个称为二面体群D_3的群。
- 单位元 (e): 无变化。
- 顺时针旋转 120° (r1)
- 顺时针旋转 240° (r2)
- 通过顶点 A 的轴进行反射 (s1)
- 通过顶点 B 的轴进行反射 (s2)
- 通过顶点 C 的轴进行反射 (s3)
我们可以看到旋转和图像。
利用可视化，群运算变得更易于理解，并且可以帮助建立与更抽象的代数概念的联系。
群论中的高级概念
现在，让我们看看群的基本定义所引发的一些更高级的概念。
子群
子群是一个群的子集中自身是一个群的部分。在相同的操作下，如果H是G的一个子群，通常写作H ≤ G
例如，考虑偶整数的子群2Z在加法下，它是整数Z的一个子群。检查2Z在加法下是否遵从群规则：闭合性、结合性、单位元（零）和逆元（负数）。
循环群
如果存在一个元素g，使得群中的每一个元素都可以表示为某个g的幂（使用群运算），就称这个群为循环群。元素g称为循环群的生成元。
例如，考虑整数模n，记作Z_n。对于任何整数a，当gcd(a, n) = 1时形成一个循环群。在Z_6中，元素1和5可以被选择来形成群。
同态
同态是两个群之间结构保持的映射。如果(G, *)和(H, +)是群，则同态f: G → H满足以下性质：
f(a * b) = f(a) + f(b)
这条性质意味着在第一个群中执行的运算被第二个群的映射所保留。
考虑整数在加法下的群(Z, +)和定义的同态f: Z → Z，f(n) = 2n。检查：
f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)
商群
商群是通过一个群G和它的一个正规子群N构建的。商群，写作G/N，由G中N的陪集组成
令Z为整数在加法下的群，2Z为偶整数的子群。商群Z/2Z有两个陪集：偶数陪集和奇数陪集。在这里，你可以把Z/2Z看作是Z_2，即整数模2。
结论
抽象代数中对群的研究揭示了构成许多数学概念基础的对称和结构组成部分。无论是讨论对象的排列，几何中的对称，还是算术中数学实体的结构，群论的美在于它能够将不同的数学情境统一和概括成一个连贯的研究领域。
通过给出的例子，包括整数、实数和几何对称，您可以看到群论在表示简单和复杂数学现象中的多样应用。这种多样性强调了群论在现代代数中的基本作用，并突出了其性质在深入理解数学结构中的重要性。
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