Определения и примеры групп в абстрактной алгебре

Введение в группы

В мире математики, особенно в области абстрактной алгебры, концепция группы играет важную роль. Группа - это множество элементов, комбинированных с операцией, которая удовлетворяет четырем фундаментальным свойствам: замкнутости, ассоциативности, наличия нейтрального элемента и обратимости. Через призму теории групп абстрактные структуры могут быть проанализированы и поняты практически.

Основное определение группы

Группа - это пара (G, *), где G - это множество, а * - бинарная операция на G (то есть, * принимает любые два элемента a и b в G и возвращает элемент a * b в G), которая удовлетворяет четырем свойствам:

1. Замкнутость: Для любых a, b в G, a * b тоже в G
2. Ассоциативность: Для любых a, b, c в G, (a * b) * c = a * (b * c)
3. Нейтральный элемент: Существует элемент e в G, такой что для любого a в G, e * a = a * e = a.
4. Обратимый элемент: Для любого a в G существует элемент b в G, такой что a * b = b * a = e, где e - нейтральный элемент.

Примеры групп

Пример 1: Целые числа под сложением

Рассмотрим множество целых чисел Z с операцией сложения (Z, +). Мы должны проверить все свойства, чтобы подтвердить, что (Z, +) является группой.

• Замкнутость: Для любых целых чисел a и b, сумма a + b тоже является целым числом. Таким образом, множество замкнуто относительно сложения.
• Ассоциативность: Для любых целых чисел a, b, и c, мы имеем (a + b) + c = a + (b + c).
• Нейтральный элемент: Целое число 0 служит нейтральным элементом, потому что для любого целого числа a, a + 0 = 0 + a = a.
• Обратимые элементы: Для любого целого числа a, -a является целым числом и a + (-a) = (-a) + a = 0.

Пример 2: Вещественные числа под умножением (без нуля)

Рассмотрим группу ненулевых вещественных чисел R* под умножением, обозначенную как (R*, .). Мы исследуем здесь свойства группы.

• Замкнутость: Для любых двух ненулевых вещественных чисел a и b, произведение a * b является ненулевым вещественным числом.
• Ассоциативность: Для любых вещественных чисел a, b, c, (a * b) * c = a * (b * c)
• Нейтральный элемент: Число 1 служит нейтральным элементом, потому что a * 1 = 1 * a = a для любого вещественного числа a.
• Обратимый элемент: Для любого ненулевого вещественного числа a существует обратный элемент 1/a такой, что a * (1/a) = (1/a) * a = 1.

Пример 3: Симметрическая группа

Симметрическая группа S_n состоит из всех перестановок конечного множества из n элементов. Рассмотрим симметрическую группу S_3 для трех элементов.

Для множества {1, 2, 3}, элемент группы S_3 - это перестановка, такая как (1 2 3) -> (3 1 2). Операции в S_3 осуществляются через композиции функций.

• Замкнутость: Комбинация любых двух перестановок дает другую перестановку.
• Ассоциативность: Структура задачи ассоциативна.
• Нейтральный элемент: Нейтральная перестановка оставляет элементы неизменными, (abc) -> (abc).
• Обратимые элементы: Каждая перестановка имеет обратную, которая восстанавливает порядок.

Визуальное представление

Для лучшего понимания структуры групп, представьте себе сложный и интересный мир симметрий в геометрических объектах. Рассмотрим простой пример, связанный с симметриями группы:

Пример 4: Симметрии равностороннего треугольника

Рассмотрим равносторонний треугольник с вершинами A, B и C. Его симметрии, такие как вращение и отражение, образуют группу, называемую диэдральной группой D_3.

- Нейтральный элемент (e): Без изменения. 
- Вращение на 120° по часовой стрелке (r1) 
- Вращение на 240° по часовой стрелке (r2) 
- Отражение по оси через вершину A (s1) 
- Отражение по оси через вершину B (s2) 
- Отражение по оси через вершину C (s3)

Мы можем увидеть вращения и изображение.

С помощью визуализации операции над группами становятся понятнее и помогают установить связи с более абстрактными алгебраическими понятиями.

Продвинутые концепции в теории групп

Теперь давайте рассмотрим более продвинутые концепции, возникающие из базового определения групп.

Подгруппы

Подгруппа - это подмножество группы, которое само по себе является группой с той же операцией. Если H - подгруппа G, мы часто пишем H ≤ G

Например, рассмотрим подгруппу четных чисел 2Z в операции сложения, которая является подгруппой целых чисел Z. Проверьте, что 2Z соблюдает правила группы при сложении: замкнутость, ассоциативность, нейтральный элемент (ноль) и обратимость (отрицательное).

Циклические группы

Группа называется циклической группой, если существует элемент g в группе, такой что каждый элемент группы может быть выражен как некоторая степень g (используя групповую операцию). Элемент g называется порождающим элементом циклической группы.

Например, рассмотрим целые числа по модулю n, обозначенные как Z_n. Циклическая группа образуется для любого числа a с gcd(a, n) = 1. В Z_6, элементы 1 и 5 могут быть выбраны для формирования группы.

Гомеоморфизмы

Гомоморфизм - это отображение, сохраняющее структуру между двумя группами. Если (G, *) и (H, +) - группы, то гомоморфизм f: G → H удовлетворяет следующему свойству:

f(a * b) = f(a) + f(b)

Это свойство означает, что операции, выполняемые в первой группе, сохраняются картой второй группы.
Рассмотрим группу целых чисел в операции сложения (Z, +) и гомоморфизм f: Z → Z, определяемый как f(n) = 2n. Проверьте:

f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)

Фактор-группа

Фактор-группа строится из группы G и нормальной подгруппы N этой группы. Фактор-группа, записываемая как G/N, состоит из смежных классов N в G

Пусть Z - группа целых чисел в операции сложения, и 2Z - подгруппа четных чисел. Фактор-группа Z/2Z имеет два смежных класса: четный класс и нечетный класс. Здесь вы можете представить Z/2Z как эквивалент Z_2, который является целыми числами по модулю 2.

Заключение

Изучение групп в абстрактной алгебре раскрывает скрытые симметричные и структурные компоненты, которые формируют основу многих математических концепций. Будь то работа с перестановками объектов, симметриями в геометрии или структурой математических объектов в арифметике, красота теории групп заключается в ее способности объединять и обобщать разрозненные математические ситуации в единое поле изучения.

Через приведенные примеры, включая целые числа, вещественные числа и геометрические симметрии, можно увидеть разнообразные применения теории групп в представлении как простых, так и сложных математических явлений. Это разнообразие подчеркивает фундаментальную роль теории групп в современной алгебре и выделяет важность ее свойств для глубокого понимания математических структур.

комментарии