Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata

Introdução ao grupo

No mundo da matemática, especialmente no campo da álgebra abstrata, o conceito de um grupo desempenha um papel importante. Um grupo é um conjunto de elementos combinado com uma operação que satisfaz quatro propriedades fundamentais: fechamento, associatividade, identidade e invertibilidade. Através do olhar da teoria dos grupos, estruturas abstratas podem ser analisadas e compreendidas de maneiras práticas.

Definição básica de um grupo

Um grupo é um par (G, *), onde G é um conjunto, e * é uma operação binária sobre G (ou seja, * pega dois elementos a e b em G e retorna um elemento a * b em G) que satisfaz estas quatro propriedades:

1. Fechamento: Para qualquer a, b em G, a * b também está em G
2. Associatividade: Para qualquer a, b, c em G, (a * b) * c = a * (b * c)
3. Elemento identidade: Existe um elemento e em G tal que para todo a em G, e * a = a * e = a.
4. Elemento inverso: Para cada a em G, existe um elemento b em G tal que a * b = b * a = e, onde e é o elemento identidade.

Exemplos de grupos

Exemplo 1: Inteiros sob adição

Considere o conjunto de inteiros Z com a operação de adição (Z, +). Temos que verificar todas as propriedades para confirmar que (Z, +) é um grupo.

• Fechado: Dado qualquer inteiro a e b, a soma a + b também é um inteiro. Assim, o conjunto está fechado sob adição.
• Associatividade: Para qualquer inteiro a, b, e c, temos (a + b) + c = a + (b + c).
• Elemento identidade: O inteiro 0 serve como o elemento identidade porque para qualquer inteiro a, a + 0 = 0 + a = a.
• Elementos inversos: Para qualquer inteiro a, -a é um inteiro e a + (-a) = (-a) + a = 0.

Exemplo 2: Números reais sob multiplicação (sem zero)

Considere o grupo de números reais não nulos R* sob multiplicação, denotado (R*, .). Investigamos as propriedades do grupo aqui.

• Fechamento: Para quaisquer dois números reais não nulos a e b, o produto a * b é um número real não nulo.
• Associatividade: Para quaisquer números reais a, b, c, (a * b) * c = a * (b * c)
• Elemento identidade: O número 1 serve como a identidade porque a * 1 = 1 * a = a para qualquer número real a.
• Elemento inverso: Para qualquer número real não nulo a, existe um inverso 1/a tal que a * (1/a) = (1/a) * a = 1.

Exemplo 3: Grupo simétrico

O grupo simétrico S_n consiste em todas as permutações de um conjunto finito de n elementos. Vamos considerar o grupo simétrico, S_3 em três elementos.

Para o conjunto {1, 2, 3}, um elemento de S_3 é uma permutação como (1 2 3) -> (3 1 2). As operações em S_3 são composições de funções.

• Fechamento: A combinação de quaisquer duas permutações produz outra permutação.
• Associatividade: A estrutura da tarefa é associativa.
• Elemento identidade: A permutação identidade deixa os elementos inalterados, (abc) -> (abc).
• Elementos inversos: Cada permutação possui um inverso que restaura a ordem.

Representação visual

Para entender melhor a estrutura dos grupos, imagine o mundo complexo e interessante das simetrias em objetos geométricos. Vamos imaginar um exemplo básico envolvendo simetrias de grupos:

Exemplo 4: Simetrias de um triângulo equilátero

Considere um triângulo equilátero com vértices A, B e C. Suas simetrias, como rotação e reflexão, formam um grupo chamado de grupo diedral D_3.

- Identidade (e): Sem mudança. 
- Rotação de 120° no sentido horário (r1) 
- Rotação de 240° no sentido horário (r2) 
- Reflexão sobre o eixo através do vértice A (s1) 
- Reflexão sobre o eixo através do vértice B (s2) 
- Reflexão sobre o eixo através do vértice C (s3)

Podemos ver a rotação e a imagem.

Com a visualização, as operações de grupo tornam-se mais fáceis de entender e podem ajudar a fazer conexões com conceitos algébricos mais abstratos.

Conceitos avançados em teoria dos grupos

Agora, vamos olhar para alguns conceitos mais avançados que surgem a partir da definição básica de grupos.

Subgrupos

Um subgrupo é um subconjunto de um grupo que é, ele mesmo, um grupo sob a mesma operação. Se H é um subgrupo de G, muitas vezes escrevemos H ≤ G

Por exemplo, considere o subgrupo dos inteiros pares 2Z sob adição, que é um subgrupo dos inteiros Z. Verifique que 2Z obedece às regras do grupo sob adição: fechamento, associatividade, identidade (zero) e inverso (negativo).

Grupos Cíclicos

Um grupo é chamado de grupo cíclico se existir um elemento g no grupo tal que cada elemento do grupo possa ser expresso como alguma potência de g (usando a operação do grupo). O elemento g é chamado de gerador do grupo cíclico.

Por exemplo, considere os inteiros módulo n, denotados por Z_n. Um grupo cíclico é formado para qualquer inteiro a com mdc(a, n) = 1. Em Z_6, os elementos 1 e 5 podem ser escolhidos para formar o grupo.

Homeomorfismos

Um homomorfismo é um mapa que preserva a estrutura entre dois grupos. Se (G, *) e (H, +) são grupos, então o homomorfismo f: G → H satisfaz a seguinte propriedade:

f(a * b) = f(a) + f(b)

Essa propriedade significa que as operações realizadas no primeiro grupo são respeitadas pelo mapa do segundo grupo.
Considere o grupo dos inteiros sob adição (Z, +) e o homomorfismo f: Z → Z definido por f(n) = 2n. Verifique:

f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)

Grupo quociente

Um grupo quociente é construído a partir de um grupo G e um subgrupo normal N dele. O grupo quociente, escrito como G/N, consiste nos cosets de N em G

Deixe Z ser o grupo dos inteiros sob adição, e 2Z ser o subgrupo dos inteiros pares. O grupo quociente Z/2Z possui dois cosets: o coset par e o coset ímpar. Aqui, você pode pensar em Z/2Z como equivalente a Z_2, que são os inteiros módulo 2.

Conclusão

O estudo dos grupos na álgebra abstrata revela os componentes simétricos e estruturais subjacentes que formam a espinha dorsal de muitos conceitos matemáticos. Seja abordando as permutações de objetos, simetrias em geometria ou a estrutura de entidades matemáticas em aritmética, a beleza da teoria dos grupos reside em sua capacidade de unificar e generalizar situações matemáticas díspares em um campo de estudo coerente.

Através dos exemplos dados, incluindo inteiros, números reais e simetrias geométricas, você pode ver as diversas aplicações da teoria dos grupos em representar fenômenos matemáticos simples e complexos. Esta diversidade sublinha o papel fundamental da teoria dos grupos na álgebra moderna e destaca a importância de suas propriedades na compreensão profunda de estruturas matemáticas.

Comentários