抽象代数学における群の定義と例

群の紹介

数学の世界、特に抽象代数学の分野では、群の概念が重要な役割を果たします。群とは、閉包性、結合性、単位元、逆元の四つの基本的な性質を満たす操作と組み合わせた要素の集合です。群論を通じて、抽象的な構造を実際的に分析し理解することができます。

群の基本的な定義

群はペア(G, *)で表され、ここでGは集合、*はG内の二項演算（つまり、*はGの要素aとbを取り、G内の要素a * bを返します）で、次の四つの特性を満たします：

1. 閉包性: 任意のa, bがGにあるとき、a * bもまたGにある
2. 結合性: 任意のa, b, cがGにあるとき、(a * b) * c = a * (b * c)
3. 単位元: Gにeという要素が存在し、任意のaに関してe * a = a * e = aが成り立ちます。
4. 逆元: 任意のaに対し、Gの要素bが存在してa * b = b * a = eとなり、このeは単位元です。

群の例

例 1: 加法の下での整数

整数の集合Zと加法(Z, +)を考えます。(Z, +)が群であることを確認するには、すべての特性を確認する必要があります。

• 閉包性: 任意の整数aとbの場合、和a + bも整数です。したがって、この集合は加法について閉じています。
• 結合性: 任意の整数a, b, cについて、(a + b) + c = a + (b + c)が成り立ちます。
• 単位元: 整数0が単位元として機能し、任意の整数aに対してa + 0 = 0 + a = aとなります。
• 逆元: 任意の整数aについて、-aも整数であり、a + (-a) = (-a) + a = 0です。

例 2: 乗法の下での実数（ゼロを除く）

非ゼロの実数R*の乗法の下での群(R*, .)を考えます。ここでの群の特性を調べてみましょう。

• 閉包性: 任意の二つの非零実数aとbの場合、積a * bは非零実数です。
• 結合性: 任意の実数a, b, cについて、(a * b) * c = a * (b * c)が成り立ちます。
• 単位元: 数1が単位元として機能し、任意の実数aに対してa * 1 = 1 * a = aです。
• 逆元: 任意の非零実数aについて、逆数1/aが存在し、a * (1/a) = (1/a) * a = 1です。

例 3: 対称群

対称群S_nは、有限集合n個の要素のすべての置換で構成されています。ここでは、三つの要素に対する対称群S_3を考えます。

集合{1, 2, 3}に対して、S_3の要素は、(1 2 3) -> (3 1 2)のような置換です。S_3の操作は関数合成です。

• 閉包性: 任意の二つの置換の組み合わせがもう一つの置換を生み出します。
• 結合性: 課題の構造は結合的です。
• 単位元: 単位元の置換は要素を変更せず(abc) -> (abc)となります。
• 逆元: すべての置換には、順序を元に戻す逆置換があります。

視覚的表現

群の構造を理解するために、幾何学オブジェクトの対称性の複雑かつ興味深い世界を想像してみましょう。群対称性の基本的な例を考えてみましょう：

例 4: 正三角形の対称性

頂点A, B, Cを持つ正三角形を考えます。この三角形の対称性、例えば回転および反射は、二面体群D_3を形成します。

- 単位元 (e): 変更なし。 
- 時計回りに120°回転 (r1) 
- 時計回りに240°回転 (r2) 
- 頂点Aを通る軸についての反射 (s1) 
- 頂点Bを通る軸についての反射 (s2) 
- 頂点Cを通る軸についての反射 (s3)

回転とその画像を見ることができます。

視覚化によって、群操作が理解しやすくなり、抽象代数学の概念との関連を理解する手助けとなります。

群論における高度な概念

次に、群の基本定義から導かれるより高度な概念について見てみましょう。

部分群

部分群とは、同じ演算の下で自らが群である群の部分集合です。HがGの部分群であるとき、H ≤ Gと書くことがあります。

たとえば、加法の下での偶数の整数2Zの部分群を考えると、これが整数Zの部分群です。2Zが加法における群のルールを満たしていることを確認してください：閉包性、結合性、単位（ゼロ）、逆元（負）です。

巡回群

ある群が巡回群と呼ばれるのは、その群のすべての要素がgのべき乗（群の演算を用いて）として表現できるときです。この要素gは巡回群の生成元と呼ばれます。

たとえば、整数を法nで考えると、Z_nで表されます。aとnの最大公約数が1である任意の整数aに対して、巡回群が形成されます。Z_6では、元1と5が選ばれて群を形成します。

準同型写像

準同型写像は、二つの群の間で構造を保存する写像です。(G, *)と(H, +)が群である場合、準同型写像f: G → Hは次の特性を満たします：

f(a * b) = f(a) + f(b)

この特性は、一つ目の群で行われた操作が二つ目の群の写像によって尊重されることを意味します。
加算の下での整数の群(Z, +)を考え、f: Z → Zで定義された準同型写像f(n) = 2nを考察します。確認：

f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)

商群

商群は群Gとその正規部分群Nから構築されます。商群はG/Nで書かれ、GにおけるNのコセットで構成されます。

整数の加法の下での群Zと偶数の部分群2Zを考えます。商群Z/2Zは、偶数のコセットと奇数のコセットの二つのコセットを持ちます。ここで、Z/2ZはZ_2、すなわち2を法とする整数に相当します。

結論

抽象代数学における群の研究は、対称性や構造の背後にある数学的概念を解き明かします。オブジェクトの置換、幾何学における対称性、算術における数学的エンティティの構造を問わず、群論の美しさは、さまざまな数学的状況を統一し、一貫した研究分野に一般化する能力にあります。

整数、実数、幾何学的対称性を含む例を通じて、群論のさまざまな応用が単純および複雑な数学現象を表していることがわかります。この多様性は、現代代数学における群論の基本的な役割を際立たせ、その特性が数学的構造を深く理解する上で重要であることを強調します。

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