स्नातकोत्तर → सार्गर्भित बीजगणित → सार समीकरण में समूह समझना ↓
सारणीशब्द और अमूर्त बीजगणित में समूहों के उदाहरण
समूह का परिचय
गणित के संसार में, विशेषकर अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में, समूह की अवधारणा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। एक समूह तत्वों का एक सेट होता है जिसे एक संचालन के साथ जोड़ा जाता है जो चार मौलिक गुणों को संतुष्ट करता है: बंदता, संयोज्यता, पहचान और प्रतिवर्त्यता। समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से, अमूर्त संरचनाओं का विश्लेषण और समझ व्यावहारिक तरीकों से किया जा सकता है।
समूह की बुनियादी परिभाषा
एक समूह एक युग्म (G, *) होता है, जहां G एक सेट होता है, और * G पर एक द्विआधारी संचालन होता है (यानी * G में किसी भी दो तत्व a और b को लेता है और एक तत्व a * b वापस देता है) जो इन चार गुणों को संतुष्ट करता है:
- बंदता:
Gमें किसी भीa, bके लिए,a * bभीGमें होता है - संयोज्यता:
Gमें किसी भीa, b, cके लिए,(a * b) * c = a * (b * c) - पहचान तत्व:
Gमें एक तत्वeमौजूद होता है जिससेGमें प्रत्येकaके लिएe * a = a * e = aहोता है। - प्रतिवर्ती तत्व:
Gमें प्रत्येकaके लिए,Gमें एक तत्वbहोता है जिससेa * b = b * a = eहोता है, जहांeपहचान तत्व है।
समूहों के उदाहरण
उदाहरण 1: योग के तहत पूर्णांक
पूर्णांकों के सेट Z को योग के संचालन के साथ विचार करें (Z, +)। हमें सब गुणों की जाँच करनी होगी यह सुनिश्चित करने के लिए कि (Z, +) एक समूह है।
- बंद: दिए गए किसी भी पूर्णांकों
aऔरbको, योगa + bभी एक पूर्णांक है। अतः, सेट योग के तहत बंद है। - संयोज्यता: किसी भी पूर्णांकों
a,b, औरcके लिए,(a + b) + c = a + (b + c)होता है। - पहचान तत्व: पूर्णांक
0पहचान तत्व के रूप में कार्य करता है क्योंकि किसी भी पूर्णांकaके लिए,a + 0 = 0 + a = a। - प्रतिवर्ती तत्व: किसी भी पूर्णांक
aके लिए,-aएक पूर्णांक है औरa + (-a) = (-a) + a = 0।
उदाहरण 2: वास्तविक संख्याएँ गुणन के तहत (शून्य को छोड़कर)
गुणन के तहत शून्य रहित वास्तविक संख्याओं का समूह विचार करें, R* द्वारा संकेतित, (R*, .)। यहां हम समूह गुणों की जांच करते हैं।
- बंदता: किसी भी दो शून्य रहित वास्तविक संख्याओं
aऔरbके लिए, उत्पादa * bएक शून्य रहित वास्तविक संख्या होती है। - संयोज्यता: किसी भी वास्तविक संख्याओं
a, b, cके लिए,(a * b) * c = a * (b * c) - पहचान तत्व: संख्या
1पहचान के रूप में कार्य करता है क्योंकिa * 1 = 1 * a = aहोता है किसी भी वास्तविक संख्याaके लिए। - प्रतिवर्ती तत्व: किसी भी शून्य रहित वास्तविक संख्या
aके लिए, एक प्रतिवर्ती1/aमौजूद होता है जिससेa * (1/a) = (1/a) * a = 1होता है।
उदाहरण 3: सममिति समूह
सममिति समूह S_n एक सीमित सेट के n तत्वों के सभी विन्यासों का समावेश करता है। चलो तीन तत्वों पर सममिति समूह पर विचार करते हैं, S_3।
सेट {1, 2, 3} के लिए, S_3 का एक तत्व एक विन्यास होता है जैसे कि (1 2 3) -> (3 1 2)। S_3 में संचालन फ़ंक्शन संयोजनों के होते हैं।
- बंदता: किसी भी दो विन्यासों का संयोजन एक और विन्यास उत्पन्न करता है।
- संयोज्यता: कार्य संरचना संयोज्य होती है।
- पहचान तत्व: पहचान विन्यास तत्वों को अपरिवर्तित छोड़ता है,
(abc) -> (abc)। - प्रतिवर्ती तत्व: प्रत्येक विन्यास में एक प्रतिवर्ती होता है जो क्रम को पुनर्स्थापित करता है।
दृश्य प्रतिनिधित्व
समूहों की संरचना को बेहतर समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि ज्यामितीय वस्तुओं में सममिति की जटिल और रुचिकर दुनिया क्या होती है। चलो समूह सममितियों से जुड़ा एक बुनियादी उदाहरण मानते हैं:
उदाहरण 4: सममिति एक समकोण त्रिकोण का
एक समकोण त्रिकोण विचार करें जिसमें शिखर बिंदु A, B और C हों। इसकी सममितियाँ, जैसे कि घूर्णन और परावर्तन, एक समूह बनाते हैं जिसे डायेड्रल समूह D_3 कहा जाता है।
- पहचान (e): कोई परिवर्तन नहीं।
- 120° घड़ी की दिशा में घूर्णन (r1)
- 240° घड़ी की दिशा में घूर्णन (r2)
- शिखर बिंदु A के माध्यम से अक्ष पर परावर्तन (s1)
- शिखर बिंदु B के माध्यम से अक्ष पर परावर्तन (s2)
- शिखर बिंदु C के माध्यम से अक्ष पर परावर्तन (s3)
हम घूर्णन और छवि को देख सकते हैं।
दृश्यावलोकन के साथ, समूह संचालन समझने में आसान हो जाते हैं और वैचारिक बीजगणित संबंधों से संबंध बनाने में मदद कर सकते हैं।
समूह सिद्धांत में उन्नत अवधारणाएँ
अब, आइए समूहों की बुनियादी परिभाषा से उत्पन्न कुछ अधिक उन्नत अवधारणाओं को देखें।
उपसमूह
एक उपसमूह एक समूह का एक उपसमूह होता है जो स्वयं उसी संचालन के तहत एक समूह होता है। यदि H G का उपसमूह है, तो हम अक्सर लिखते हैं H ≤ G
उदाहरण के लिए, योग के तहत सम भीतरी अंशों का उपसमूह 2Z को विचार करें, जो पूर्णांकों Z का एक उपसमूह है। जांचें कि 2Z योग के तहत समूह नियमों का पालन करता है: बंदता, संयोज्यता, पहचान (शून्य), और प्रतिवर्ती (नकारात्मक)।
चक्रवर्ती समूह
एक समूह को चक्रवर्ती समूह कहा जाता है यदि समूह में एक तत्व g होता है जिससे समूह का प्रत्येक तत्व कुछ घात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (सामूहिक संचालन का उपयोग करके)। तत्व g को चक्रवर्ती समूह का उत्पन्नकर्ता कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, पूर्णांक पर क्रम n के अनुसार, Z_n से प्रदर्शित होता है। कोई भी पूर्णांक a जिससे gcd(a, n) = 1 होता है, एक चक्रवर्ती समूह बनता है। Z_6 में, तत्व 1 और 5 समूह बनाने के लिए चुने जा सकते हैं।
समरूपता
समरूपता दो समूहों के बीच स्ट्रक्चर-पारस्परिक मैप होता है। यदि (G, *) और (H, +) समूह हैं, तो समरूपता f: G → H निम्नलिखित गुण को संतुष्ट करती है:
f(a * b) = f(a) + f(b)
इस गुण का अर्थ है कि पहले समूह में किए गए संचालन दूसरे समूह के मानचित्र द्वारा मान्य होते हैं।
पूर्णांकों के समूह को योग (Z, +) के तहत और समरूपता f: Z → Z को f(n) = 2n द्वारा परिभाषित किया गया है। जांचें:
f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)
भागफल समूह
एक भागफल समूह एक समूह G और उसके एक सामान्य उपसमूह N से बनाया जाता है। भागफल समूह, G/N के रूप में लिखी जाती है, N के G में उपगर्गों का समावेश करती है।
मान लें कि Z समूह है जो जोड़ के तहत पूर्णांको का है, और 2Z यहां बराबरी के उपसमूह का है। भागफल समूह Z/2Z में दो उपगर्ग होते हैं: बराबर उपगर्ग और विषम उपगर्ग। यहां, आप Z/2Z को Z_2 के समान मान सकते हैं, जो पूर्णांक पर खंड 2 है।
निष्कर्ष
अमूर्त बीजगणित में समूहों का अध्ययन उन अंधरभादों और संरचनात्मक घटकों को प्रकट करता है जो कई गणितीय अवधारणाओं के मस्तूल होते हैं। चाहे वस्तुओं के विन्यासों का मूल्यांकन करना हो, ज्यामितीय सममितियों में संरक्षित संरचनाएं हों, या गणितीय तत्वों में अंकगणित संस्थाएं हों, समूह सिद्धांत की सुंदरता इसका विभिन्न गणितीय परिस्थितियों को एक एकल क्षेत्र में संबद्ध करने और सामान्यीकृत करने की क्षमता में निहित होती है।
दिए गए उदाहरणों के माध्यम से, जिसमें पूर्णांक, वास्तविक संख्याएँ, और ज्यामितीय सममिति शामिल हैं, आप देख सकते हैं कि समूह सिद्धांत का कितना विविध उपयोग सरल और जटिल गणितीय घटनाओं का परिदर्शन बनाने में होता है। यह विविधता आधुनिक बीजगणित में समूह सिद्धांत की मूलभूत भूमिका को उजागर करती है और गणितीय संरचनाओं की गहरी समझ में इसकी गुणों की महत्ता को प्रमुखता से दिखाती है।
टिप्पणियाँ