Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Introducción al análisis real


El análisis real es una rama importante de las matemáticas que se ocupa del estudio de los números reales y las funciones de variables reales. Proporciona la base teórica para el cálculo y nos ayuda a comprender el comportamiento de las funciones de valor real de manera rigurosa. En el análisis real, investigamos conceptos como sucesiones y series, límites, continuidad, diferenciación e integración desde una perspectiva más avanzada y rigurosa que el cálculo estándar.

Conceptos básicos

Para comprender completamente el análisis real, primero debemos entender algunos conceptos básicos. Las siguientes son las ideas principales que forman la base para el estudio más avanzado en esta área.

Número real

Los números reales incluyen todos los números racionales e irracionales. Se pueden considerar como puntos en una línea infinita llamada la recta numérica. Los números reales son fundamentales para el análisis real, ya que nos permiten medir distancias y explicar conceptos matemáticos como límites.

Secuencias

Una secuencia es una lista ordenada de números. La secuencia puede ser finita o infinita. En el análisis real, estamos particularmente interesados en secuencias infinitas y su comportamiento. Por ejemplo, una secuencia infinita puede converger o divergir a un cierto número real. La secuencia se representa como (a_n), donde n es el índice que generalmente comienza en 1 o 0.

Considere la secuencia: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

Esta secuencia se puede representar como (a_n) = 1/n. A medida que n aumenta, los términos de la secuencia se acercan a 0. Por lo tanto, diremos que la secuencia converge a 0.

lim (a_n) = 0, donde a_n = 1/n cuando n -> ∞

Limitaciones

El límite es el valor al que se aproxima una secuencia o función a medida que la entrada (o el índice) se aproxima a un valor. Comprender los límites es esencial en el análisis real porque son la base para definir la continuidad, las derivadas y las integrales.

Por ejemplo, considere la función f(x) = 1/x a medida que x se aproxima al infinito.

X f(x) 0

Este gráfico muestra f(x) = 1/x aproximándose a cero a medida que x se aproxima al infinito. Por lo tanto, escribimos:

lim (1/x) = 0 cuando x -> ∞

Continuidad

Una función es continua si no hay cambios abruptos en su valor. Más formalmente, una función f es continua en un punto c si el límite de f(x) a medida que x se aproxima a c es igual a f(c).

Considere la función f(x) = x^2. Esta función es continua porque a medida que te acercas mucho a un punto c, f(x) se aproxima a f(c).

X f(x) 0

Este gráfico muestra f(x) = x^2, que es suave y sin interrupciones, y exhibe continuidad para todos los x.

Diferenciación

La diferenciación en análisis real implica encontrar la derivada de una función, que muestra la tasa de cambio o la pendiente de una función en un punto dado.

Si f(x) = x^2, entonces la derivada se calcula de la siguiente manera:

f'(x) = lim (h -> 0) [(f(x + h) - f(x)) / h]

Poniendo f(x) = x^2:

f'(x) = lim (h -> 0) [((x + h)^2 - x^2) / h]

= lim (h -> 0) [(x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h]

= lim (h -> 0) [(2xh + h^2) / h]

= lim (h -> 0) [2x + h]

A medida que h se aproxima a 0, obtenemos:

f'(x) = 2x

Esto significa que la pendiente de f(x) = x^2 en cualquier punto x es 2x.

Integración

La integración es el proceso opuesto a la diferenciación y se utiliza para calcular áreas bajo curvas. La integral de una función proporciona la acumulación de cantidades sobre un intervalo.

La integral de f(x) = x^2 desde a hasta b se calcula de la siguiente manera:

∫ desde a hasta b de x^2 dx

Encontrar la antiderivada de x^2:

F(x) = (1/3)x^3

Evaluación desde a hasta b:

F(b) - F(a) = (1/3)b^3 - (1/3)a^3

Este cálculo da el área bajo la curva f(x) = x^2 desde a hasta b.

Funciones y sus propiedades

En el análisis real, exploramos propiedades detalladas de las funciones más allá de sus meras gráficas o expresiones algebraicas simples. Comprender estas propiedades ayuda a los matemáticos a predecir y describir el comportamiento de las funciones de manera precisa.

Funciones monótonas

Las funciones monótonas son funciones que nunca aumentan o nunca disminuyen. Una función f se dice que es monótonamente creciente si para todos x y y tal que x < y, el valor f(x) ≤ f(y) Por el contrario, es monótonamente decreciente si f(x) ≥ f(y)

Considere la función f(x) = x^3.

X f(x)

Este gráfico muestra que a medida que x aumenta, f(x) = x^3 también aumenta, lo que indica que esta es una función crecientemente unidireccional.

Función acotada

Una función está acotada si sus valores se encuentran dentro de un cierto rango. Una función f está acotada superiormente si existe un número M tal que f(x) ≤ M para todos x Está acotada inferiormente si existe un número m tal que f(x) ≥ m.

Considere la función f(x) = sin(x), que oscila entre -1 y 1.

X f(x)

Este gráfico muestra que f(x) = sin(x) está acotado entre -1 y 1.

Convergencia de series

En el análisis real, también discutimos series, que son sumas infinitas de secuencias. Si la suma se acerca a un número particular a medida que se añaden más términos, se dice que la serie es convergente. El caso más simple de una serie es una serie geométrica.

Considere la serie:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Esta es una serie geométrica con una razón de 1/2.

Podemos encontrar la suma de una progresión geométrica hasta el infinito utilizando la fórmula:

S = a/(1 - r)

Donde a es el primer término y r es la razón común.

Poniendo a = 1 y r = 1/2:

S = 1/(1 - 1/2) = 1/(1/2) = 2

Esta serie converge a 2.

Conclusión

El análisis real es un campo fascinante de las matemáticas que profundiza en las complejidades de los números reales y las funciones de variables reales. Extiende los principios del cálculo e introduce el rigor en la comprensión matemática y las pruebas. Los conceptos en el análisis real son fundamentales para muchos campos, incluyendo la física, la ingeniería y la economía, lo que lo convierte en un estudio esencial para cualquier matemático o científico.


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