Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура ↓


Дискретная математика


Дискретная математика - это ветвь математики, которая занимается отдельными и изолированными значениями. Она принципиально отличается от непрерывной математики, которая включает элементы, способные легко изменяться. Дискретная математика активно используется в компьютерных науках, так как цифровые системы используют дискретные данные. Она также является математической основой для алгоритмов и структур данных.

Характеристики дискретной математики

Дискретная математика включает некоторые специфические особенности, которые отличают ее от непрерывной математики:

  • Она работает с счетными, дискретными значениями, а не с непрерывными категориями.
  • Это часто связано с математическими структурами, такими как графы, целые числа и логические высказывания.
  • Она имеет широкий спектр практических приложений в компьютерных науках; например, в криптографии, проектировании сетей и задачах оптимизации.

Фундаментальные концепции дискретной математики

1. Множества и теория множеств

Множества - это коллекции объектов. Теория множеств изучает множества. Множество представляется фигурными скобками {}, а объекты в нем называются элементами.

Пример: Пусть A = {1, 2, 3, 4}. Здесь 1, 2, 3 и 4 - это элементы множества A.

Операции над множествами включают объединение, пересечение и разность:

  • Объединение: Все элементы, которые находятся в любом из множеств.
    A ∪ B = {элементы в A} или {элементы в B}.
  • Пересечение: Только элементы, которые находятся в обоих множествах.
    A ∩ B
  • Разность: Элементы в одном множестве, но не в другом.
    A - B
A B

2. Аргументы и предложения

Логика занимается изучением рассуждений и аргументов. Предложения - это высказывания, которые являются истинными или ложными. Логические операторы, такие как AND, OR и NOT, используются для формирования логических высказываний.

Пример: “Идет дождь” - это предложение. Его истинное значение может быть истинным или ложным.

  • NOT - отрицает высказывание.
    Если P истинно, то NOT P ложно.
  • AND - объединяет два высказывания и истинно, если оба истинны.
    P AND Q - истинно, если оба P и Q истинны.
  • OR - объединяет два высказывания и истинно, если хотя бы одно истинно.
    P OR Q - истинно, если P истинно или Q истинно.
Истина Ложь

Логические связки также могут быть представлены с помощью таблиц истинности. Для двух предложений P и Q, таблица истинности для P AND Q выглядит так:

PQP and Q
,
TTT
TFF
FTF
FFF

3. Функции и связи

Функция - это тип связи, где каждый элемент в области определения связан с одним и только одним элементом в кодомене. Функция часто выражается как f(x) = y.

Пример: f(x) = x + 2, если x = 3, то f(x) = 5

Связь - это соединение между элементами двух или более множеств. Они часто представляются в виде упорядоченных пар.

Пример: Рассмотрим отношение R = {(1, 2), (3, 4)}, здесь (1, 2) и (3, 4) - это упорядоченные пары.

4. Теория графов

Теория графов включает изучение графов, которые представляют собой математические структуры, используемые для моделирования парных отношений между объектами. Граф состоит из вершин (узлов) и ребер (соединений).

Графы могут быть классифицированы на разные типы:

  • Неориентированный граф: граф, ребра которого не имеют направления.
  • Ориентированный граф (диграф): граф, в котором каждое ребро имеет направление.
  • Взвешенный граф: граф, в котором у ребер есть веса (значения).

5. Комбинаторика

Комбинаторика - это раздел математики, который занимается комбинациями объектов, принадлежащих конечному множеству, в соответствии с определенными ограничениями, такими как теория графов.

  • Перестановки: Различные способы упорядочения объектов.
    nPr, где n - общее количество элементов, а r - выборка.
  • Комбинации: Методы отбора элементов без учета порядка.
    nCr, где n - общее количество объектов, а r - выборка.

Пример: Если всего 5 книг, сколькими способами можно устроить 3 книги на полке? Это проблема на перестановки: 5P3.

6. Теория чисел

Теория чисел изучает свойства и отношения чисел, особенно целых. Она включает такие понятия, как делимость, простые числа и модульная арифметика.

Пример: Простые числа - это числа, большие 1, которые не имеют делителей, кроме 1 и самих себя.
Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Модульная арифметика включает арифметику с остатками. Это похоже на то, как часы "вращаются" каждые 12 часов.

Пример: 7 mod 5 = 2, потому что, когда вы делите 7 на 5, остаток равен 2.

7. Булева алгебра

Булева алгебра - это подполе алгебры, в котором значения переменных представлены в виде истинных значений (истина и ложь), обычно обозначаемых 1 и 0 соответственно.

ABA и BA или BНе A
00001
01011
10010
11110

Применения дискретной математики

Компьютерные науки

Дискретная математика является фундаментом в компьютерных науках. Алгоритмы, структуры данных и теория сложности основаны на концепциях дискретной математики. Например, сортировочные алгоритмы основаны на идеях дискретной математики о порядке и перестановках.

Принципы кодирования

Теория кодирования, используемая в сжатии данных, обнаружении и исправлении ошибок, основывается на принципах дискретной математики. Она рассматривает свойства и дизайн кодов и их пригодность для конкретных приложений.

Криптография

Криптография, которая является наукой о кодировании и понимании информации, основана на теории чисел и алгоритмических принципах.

Крипто открытый ключ закрытый ключ

Сети

Теория графов и алгоритмы обхода из дискретной математики важны для анализа и проектирования сетей, таких как социальные сети, компьютерные сети и утилитарные сети.

Заключение

Дискретная математика предоставляет важные инструменты для понимания систем, в которых различные явления взаимосвязаны. Она является неотъемлемой частью таких областей, как компьютерные науки, инженерия и экономика. Ее применимость выходит за рамки простого академического интереса, будучи использованной в реальном решении проблем в анализе данных и технологическом прогрессе.


Магистратура → 10


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (9.3.4)
Алгоритмы аппроксимации
следующая (10.1) →
Теория графов

комментарии 



Дискретная математика

https://www.buddymath.com/g/10?bmal=ru