Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado ↓


Matemáticas discretas


Las matemáticas discretas son una rama de las matemáticas que se ocupa de valores separados y aislados. Es fundamentalmente diferente de las matemáticas continuas, que involucran elementos que pueden cambiar fácilmente. Las matemáticas discretas se utilizan mucho en la informática, ya que los sistemas digitales utilizan datos discretos. También es la base matemática de los algoritmos y las estructuras de datos.

Características de las matemáticas discretas

Las matemáticas discretas incluyen algunas características específicas que las diferencian de las matemáticas continuas:

  • Se ocupa de valores contables, discretos, en lugar de categorías continuas.
  • A menudo, esto involucra estructuras matemáticas como grafos, enteros y declaraciones lógicas.
  • Tiene una amplia gama de aplicaciones prácticas en informática; por ejemplo, en criptografía, diseño de redes y problemas de optimización.

Conceptos fundamentales en matemáticas discretas

1. Conjuntos y teoría de conjuntos

Los conjuntos son colecciones de objetos. La teoría de conjuntos es el estudio de los conjuntos. Un conjunto se representa con llaves {} y los objetos en él se llaman elementos.

Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} Aquí, 1, 2, 3 y 4 son elementos del conjunto A.

Las operaciones en conjuntos incluyen unión, intersección y diferencia:

  • Unión: Todos los elementos que están en cualquier conjunto.
    A ∪ B = {elementos en A} o {elementos en B}.
  • Intersección: Solo los elementos que están en ambos conjuntos.
    A ∩ B
  • Diferencia: Elementos en un conjunto pero no en el otro.
    A - B
A B

2. Argumentos y proposiciones

La lógica se ocupa del estudio del razonamiento y los argumentos. Las proposiciones son declaraciones que son verdaderas o falsas. Los operadores lógicos como AND, OR y NOT se utilizan para formar declaraciones lógicas.

Ejemplo: “Está lloviendo” es una proposición. Su valor de verdad puede ser verdadero o falso.

  • NOT - niega la declaración.
    Si P es verdadero, entonces NOT P es falso.
  • AND - Une dos declaraciones y es verdadero si ambas son verdaderas.
    P AND Q - Verdadero si tanto P como Q son verdaderos.
  • OR - une dos declaraciones y es verdadero si al menos una es verdadera.
    P OR Q - Verdadero si P es verdadero o Q es verdadero.
Verdad Falso

Los conectivos lógicos también pueden ser representados mediante tablas de verdad. Para dos proposiciones P y Q, la tabla de verdad para P AND Q es:

PQP and Q
,
TTT
TFF
FTF
FFF

3. Funciones y relaciones

Una función es un tipo de relación donde cada elemento en el dominio está relacionado con exactamente un elemento en el codominio. Una función generalmente se expresa como f(x) = y.

Ejemplo: f(x) = x + 2, si x = 3, entonces f(x) = 5

Una relación es una conexión entre los elementos de dos o más conjuntos. A menudo se representan como pares ordenados.

Ejemplo: Considera la relación R = {(1, 2), (3, 4)}, aquí (1, 2) y (3, 4) son pares ordenados.

4. Teoría de grafos

La teoría de grafos implica el estudio de grafos, que son estructuras matemáticas utilizadas para modelar relaciones emparejadas entre objetos. Un grafo está compuesto por vértices (nodos) y aristas (conexiones).

Los grafos pueden clasificarse en diferentes tipos:

  • Grafo no dirigido: Un grafo cuyas aristas no tienen dirección.
  • Grafo dirigido (digrafo): Un grafo en el que cada arista tiene una dirección.
  • Grafo ponderado: Un grafo en el que las aristas tienen pesos (valores).

5. Combinatoria

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa de las combinaciones de objetos pertenecientes a un conjunto finito según ciertas restricciones, como la teoría de grafos.

  • Permutaciones: Diferentes maneras de ordenar los objetos.
    nPr donde n es el número total de elementos y r es la selección.
  • Combinaciones: Métodos para seleccionar elementos sin considerar el orden.
    nCr donde n es el número total de objetos y r es la selección.

Ejemplo: Si hay un total de 5 libros, ¿de cuántas maneras puedes ordenar 3 libros en un estante? Este es un problema de permutación: 5P3.

6. Teoría de números

La teoría de números estudia las propiedades y relaciones de los números, especialmente los enteros. Incluye conceptos como la divisibilidad, los números primos y la aritmética modular.

Ejemplo: Los números primos son números mayores que 1 que no tienen divisores distintos de 1 y ellos mismos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

La aritmética modular involucra aritmética con restos. Esto es similar a cómo un reloj "gira" cada 12 horas.

Ejemplo: 7 mod 5 = 2 porque cuando divides 7 por 5, el resto es 2.

7. Álgebra de Boole

El álgebra de Boole es una subárea del álgebra en la que los valores de las variables son valores de verdad (verdadero y falso), generalmente denotados por 1 y 0, respectivamente.

ABA y BA o BNo A
00001
01011
10010
11110

Aplicaciones de las matemáticas discretas

Ciencias de la computación

Las matemáticas discretas son fundamentales en las ciencias de la computación. Los algoritmos, las estructuras de datos y la teoría de la complejidad se basan en conceptos de matemáticas discretas. Por ejemplo, los algoritmos de ordenamiento se basan en ideas sobre ordenamiento y permutación de las matemáticas discretas.

Principios de codificación

La teoría de la codificación, que se utiliza en compresión de datos, detección de errores y corrección de errores, se basa en los principios de las matemáticas discretas. Se ocupa de las propiedades y el diseño de códigos y su idoneidad para aplicaciones específicas.

Criptografía

La criptografía, que es la ciencia de codificar y entender información, se basa en la teoría de números y principios algorítmicos.

Cripto clave pública clave privada

Redes

La teoría de grafos y los algoritmos de recorrido de las matemáticas discretas son importantes para el análisis y diseño de redes como redes sociales, redes informáticas y redes de utilidades.

Conclusión

Las matemáticas discretas proporcionan herramientas importantes para comprender sistemas en los que diferentes fenómenos están interconectados. Son fundamentales en campos que van desde la informática hasta la ingeniería y la economía. Su aplicabilidad va más allá del interés académico, utilizándose en la resolución de problemas del mundo real en análisis de datos y avances tecnológicos.


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