Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Дискретная математика ↓


Криптография


Криптография — это важная область изучения в рамках дискретной математики, которая играет жизненно важную роль в обеспечении безопасности на различных платформах сегодня. В основе криптографии лежит практика безопасных коммуникаций в присутствии противников. Она имеет долгую историю, насчитывающую тысячи лет, но в современных условиях является фундаментальной частью компьютерных наук и информационной безопасности.

Понимание криптографии

Криптография включает в себя разработку методов защиты коммуникаций. Она используется для защиты информации от несанкционированного доступа, обеспечения целостности данных, предоставления аутентификации и даже обеспечения того, чтобы данные не могли быть оспорены после их создания. Основные концепции вращаются вокруг шифрования и дешифрования:

Шифрование и дешифрование

Шифрование — это процесс, в котором открытая текстовая информация преобразуется в нечитабельную форму, называемую зашифрованным текстом, с использованием алгоритма и ключа. Ключ является важной частью процесса шифрования, который определяет, как текст трансформируется.

Дешифрование — это обратный процесс, при котором зашифрованный текст конвертируется обратно в читаемый открытый текст. Этот процесс требует знаний о ключе, использованном при шифровании.

Пример базового шифрования: шифр Цезаря

Простым примером метода шифрования является шифр Цезаря. Этот шифр назван в честь Юлия Цезаря, который, по легенде, использовал его для общения со своими генералами.

В шифре Цезаря каждая буква в открытом тексте "сдвигается" на определённое количество мест в алфавите. Вот как это работает:

Открытый текст: HELLO Сдвиг: 3 Зашифрованный: KHOOR

Как это работает? Рассмотрим алфавит:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Если переместимся на три позиции вправо:

DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC

Таким образом, 'H' становится 'K', 'E' становится 'H', 'L' становится 'O' и так далее.

Типы криптографии

Криптографические методы можно подразделить на три типа:

1. Симметричное шифрование

В симметричной криптографии используется один и тот же ключ для шифрования и дешифрования. Это похоже на запираемую коробку, которую обе стороны могут открыть, потому что у них есть один и тот же ключ. Это эффективно и быстро, но проблема заключается в безопасной передаче ключа. Некоторые распространенные симметричные алгоритмы включают:

  • Data Encryption Standard (DES)
  • Advanced Encryption Standard (AES)

Визуальный пример:

открытый текст Шифр Один и тот же ключ

2. Асимметричное шифрование

Асимметричные алгоритмы используют пару ключей - открытый и закрытый ключи. Открытый ключ распространяется открыто и используется для шифрования, тогда как закрытый ключ хранится в секрете для дешифрования. Это существенно превосходит симметричное шифрование в отношении распределения ключей, но более вычислительно интенсивно.

  • Rivest–Shamir–Adleman (RSA)
  • Криптография на эллиптических кривых (ECC)

Визуальный пример:

открытый текст Шифр открытый ключ открытый текст закрытый ключ

3. Хеш-функции

Хеш-функции не используют ключи. Вместо этого они принимают входные данные (или "сообщение") и возвращают строку байтов фиксированного размера. Выходные данные, обычно называемые "хешем", уникальны для каждого уникального входящего значения. Почти невозможно вывести исходные данные по их хешу.

Хеш-функции используются для обеспечения целостности данных и хранения паролей, среди других приложений. Популярные хеш-функции включают:

  • MD5 (считатся небезопасным для многих приложений)
  • SHA-256

Визуальный пример:

Сообщение Хеш Хеш-функции

Математические основы криптографии

Математика является основой криптографии, где важную роль играют теория чисел и алгебра. Несколько важных концепций включают:

1. Модульная арифметика

Криптографические алгоритмы часто используют модульную арифметику. Это похоже на арифметику по кругу, где числа вращаются после достижения определённой точки - "модуля". Например, в арифметике по модулю 12, 13 равно 1:

13 mod 12 = 1

Модульная арифметика является необходимой в многих криптографических системах, в частности в RSA, которая использует свойства простых чисел в своих операциях.

2. Простые числа

Простые числа, числа, которые делятся только на 1 и на самих себя, являются основополагающими в криптографии. Они используются для генерации ключей в таких алгоритмах, как RSA. Сложность факторизации больших чисел на простые лежит в основе безопасности этих систем.

3. Функция Эйлера

Функция Эйлера, обозначаемая φ(n), важна в криптографии для вычисления открытых и закрытых ключей. Она считает количество чисел до заданного числа n, которые являются взаимно простыми с n.

4. Дискретный логарифм

Проблема дискретного логарифма является другим математическим понятием, используемым в криптографии. Это похоже на обычный логарифм, но внутри множества целых чисел. Эта проблема лежит в основе безопасности некоторых криптографических систем, таких как обмен ключами Диффи-Хеллмана.

Приложения криптографии

Криптография играет жизненно важную роль в обеспечении информационных систем. Ее основные приложения включают:

1. Безопасное общение

Шифрование позволяет вести приватные разговоры через публичные каналы. Классическими приложениями являются защищённый просмотр веб-страниц (HTTPS), который опирается на криптографические протоколы для защиты данных, передаваемых через Интернет.

2. Аутентификация

Криптография обеспечивает, чтобы данные поступали от проверенного источника. Техники, такие как цифровые подписи, позволяют пользователям проверить подлинность сообщения, программного обеспечения или цифрового документа.

3. Цифровая подпись

Они являются криптографическим эквивалентом рукописных подписей, но намного более безопасны. Цифровые подписи удостоверяют целостность и происхождение сообщения, гарантируя, что оно не было изменено.

4. Криптографические хеш-функции в безопасности паролей

Хеш-функции безопасно хранят пароли. Когда пользователь вводит пароль, он хешируется и сравнивается с сохранённым хешом. Это означает, что даже если база данных хешей будет взломана, пароли не будут непосредственно раскрыты.

Заключение

Криптография является краеугольным камнем современных практик безопасности, позволяя осуществлять безопасные транзакции и коммуникации через цифровые платформы. Ее основы в дискретной математике, особенно в теории чисел и алгебре, подчеркивают сложные взаимосвязи между математической теорией и практическими приложениями. Обеспечивая защиту информации, криптография остаётся важной областью в поддержании конфиденциальности и доверия в все более взаимосвязанном мире.


Магистратура → 10.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (10.2.4)
Понимание принципа включения-исключения
следующая (10.3.1) →
Применение теории чисел в криптографии

комментарии 



Криптография

https://www.buddymath.com/g/10.3?bmal=ru