Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Matemáticas discretas ↓


Criptografía


La criptografía es un campo de estudio importante dentro de las matemáticas discretas y juega un papel vital en garantizar la seguridad en una variedad de plataformas hoy en día. En esencia, la criptografía es la práctica de comunicaciones seguras en presencia de adversarios. Tiene una larga historia, que data de miles de años atrás, pero en entornos contemporáneos, es una parte fundamental de la informática y la seguridad de la información.

Entendiendo la criptografía

La criptografía implica la creación de métodos para proteger las comunicaciones. Se utiliza para proteger la información del acceso no autorizado, asegurar la integridad de los datos, proporcionar autenticación e incluso garantizar que los datos no puedan ser negados una vez que han sido creados. Los conceptos principales giran en torno a la encriptación y el desencriptado:

Encriptación y desencriptado

Encriptación es un proceso en el que la información en texto plano se convierte en una forma ilegible llamada texto cifrado usando un algoritmo y una clave. La clave es una parte vital del proceso de encriptación, que determina cómo se transforma el texto.

Desencriptado es el proceso inverso, donde el texto cifrado se convierte nuevamente en texto plano legible. Este proceso requiere el conocimiento de la clave utilizada en la encriptación.

Ejemplo de encriptación básica: Cifrado César

Un ejemplo simple de un método de encriptación es el cifrado César. Este cifrado lleva el nombre de Julio César, quien, según la leyenda, lo usaba para comunicarse con sus generales.

En un cifrado César, cada letra del texto plano se 'desplaza' un cierto número hacia abajo en el alfabeto. Así es como funciona:

Texto Plano : HELLO Desplazamiento : 3 Cifrado : KHOOR

¿Cómo funciona? Considera el alfabeto:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Si nos movemos tres lugares a la derecha:

DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC

Así, 'H' se convierte en 'K', 'E' se convierte en 'H', 'L' se convierte en 'O', y así sucesivamente.

Tipos de criptografía

Los métodos criptográficos pueden clasificarse ampliamente en tres tipos:

1. Criptografía de clave simétrica

En la criptografía de clave simétrica, se utiliza la misma clave tanto para la encriptación como para el desencriptado. Esto es similar a una caja cerrada que ambas partes pueden abrir porque tienen la misma llave. Es eficiente y rápida, pero el desafío radica en compartir la clave de manera segura. Algunos algoritmos simétricos comunes incluyen:

  • Estándar de Encriptación de Datos (DES)
  • Estándar de Encriptación Avanzada (AES)

Ejemplo visual:

texto plano Cifrado La misma clave

2. Criptografía de clave asimétrica

Los algoritmos asimétricos usan un par de claves: una clave pública y una clave privada. La clave pública se comparte abiertamente y se usa para encriptar, mientras que la clave privada se mantiene en secreto para desencriptar. Tiene ventajas significativas sobre la criptografía simétrica en términos de distribución de claves, pero es más intensiva computacionalmente.

  • Rivest–Shamir–Adleman (RSA)
  • Criptografía de Curva Elíptica (ECC)

Ejemplo visual:

texto plano Cifrado clave pública texto plano clave privada

3. Funciones de hash

Las funciones de hash no involucran claves. En cambio, toman una entrada (o 'mensaje') y devuelven una cadena de bytes de tamaño fijo. La salida, generalmente un 'resumen', es única para cada entrada única. Es casi imposible derivar la entrada original a partir de su salida hash.

Las funciones de hash se utilizan para asegurar la integridad de los datos y el almacenamiento de contraseñas, entre otras aplicaciones. Las funciones de hash populares incluyen:

  • MD5 (ahora considerado inseguro para muchas aplicaciones)
  • SHA-256

Ejemplo visual:

Mensaje Salida Hash Funciones de hash

Fundamentos matemáticos de la criptografía

Las matemáticas son la base de la criptografía, siendo la teoría de números y el álgebra roles importantes. Algunos de los conceptos importantes son los siguientes:

1. Aritmética modular

Los algoritmos criptográficos a menudo usan aritmética modular. Esto es como la aritmética del reloj donde los números giran después de alcanzar un cierto punto: el 'módulo'. Por ejemplo, en aritmética módulo 12, 13 es igual a 1:

13 mod 12 = 1

La aritmética modular es esencial en muchos sistemas criptográficos, notablemente RSA, que utiliza propiedades de los números primos en sus operaciones.

2. Números primos

Los números primos, números que son divisibles solo por 1 y por ellos mismos, son fundamentales en la criptografía. Se utilizan para generar claves en algoritmos como RSA. La dificultad de factorizar números grandes en primos subyace en la seguridad de estos sistemas.

3. Función phi de Euler

La función phi de Euler, denotada φ(n), es importante en criptografía para calcular claves públicas y privadas. Cuenta el número de enteros hasta un entero dado n que son coprimos con n.

4. Logaritmo discreto

El problema del logaritmo discreto es otro concepto matemático utilizado en criptografía. Es similar al logaritmo regular, pero dentro del conjunto de los enteros. Este problema subyace en la seguridad de algunos sistemas criptográficos como el intercambio de claves Diffie-Hellman.

Aplicaciones de la criptografía

La criptografía juega un papel vital en la seguridad de los sistemas de información. Sus principales aplicaciones incluyen:

1. Comunicación segura

La encriptación permite conversaciones privadas a través de canales públicos. Los usos clásicos incluyen la navegación web segura (HTTPS), que depende de protocolos criptográficos para proteger los datos transmitidos a través de Internet.

2. Autenticación

La criptografía asegura que los datos provienen de una fuente verificada. Las técnicas como las firmas digitales permiten a los usuarios verificar la autenticidad de un mensaje, software o documento digital.

3. Firma digital

Estas son el equivalente criptográfico de las firmas manuscritas, pero son mucho más seguras. Las firmas digitales certifican la integridad y el origen del mensaje, asegurando que no ha sido alterado.

4. Funciones hash criptográficas en la seguridad de contraseñas

Las funciones hash almacenan contraseñas de manera segura. Cuando un usuario ingresa una contraseña, se hace un hash y se compara con el hash almacenado. Esto significa que incluso si se manipula la base de datos de hashes, las contraseñas no se exponen directamente.

Conclusión

La criptografía es un pilar de las prácticas de seguridad modernas, que permite transacciones y comunicaciones seguras en plataformas digitales. Sus fundamentos en matemáticas discretas, particularmente en teoría de números y álgebra, destacan las complejas relaciones entre la teoría matemática y las aplicaciones prácticas. Al proteger la información, la criptografía sigue siendo un campo esencial para mantener la privacidad y la confianza en un mundo cada vez más conectado.


Posgrado → 10.3


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (10.2.4)
Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión
Siguiente (10.3.1) →
Aplicaciones de la teoría de números en criptografía

Comentarios 



Criptografía

https://www.buddymath.com/g/10.3?bmal=es