Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Дискретная математика → Криптография ↓


Постквантовая криптография


В постоянно развивающейся области криптографии надвигающаяся угроза переосмысливает наши стандарты: квантовые вычисления. В то время как классические компьютеры используют биты для выполнения вычислений, квантовые компьютеры используют кубиты. Это изменение обещает беспрецедентные вычислительные возможности, угрожая многим широко используемым криптографическим системам, особенно тем, которые основаны на инфраструктурах с открытым ключом. Входит в область постквантовой криптографии (PQC) — дисциплины в области криптографии, призванной защитить наш цифровой мир от квантовых угроз.

Понимание криптографии

Криптография, наука о защите коммуникаций, постоянно развивается для борьбы с возникающими угрозами. Она берет свое начало в простых методах, таких как шифр Цезаря, и с тех пор превратилась в сложные алгоритмы, играющие неотъемлемую роль в цифровой безопасности.

Традиционно криптографические системы используют математические задачи, которые считаются трудными для быстрого решения компьютерами. Популярные методы включают техники, такие как алгоритм RSA, который основывается на сложности разложения больших простых чисел, и эллиптическую криптографию, в которой используются сложные алгебраические структуры. Однако квантовые компьютеры, используя свои уникальные свойства, могут решить эти задачи за разумные сроки.

Криптография с открытым ключом: краткий обзор

Криптография с открытым ключом, или асимметричная криптография, использует пару ключей — открытый ключ для шифрования и закрытый ключ для дешифрования. Эта установка обеспечивает безопасные коммуникации по небезопасным каналам, формируя основу безопасности данных в Интернете.

  • Алгоритм RSA: Основан на сложности разложения больших составных чисел. Открытый ключ обычно состоит из произведения двух больших простых чисел, в то время как закрытый ключ состоит из их множителей.
  • Эллиптическая криптография (ECC): Использует алгебраическую структуру эллиптических кривых над конечными полями. Она более эффективна, чем RSA, обеспечивая аналогичную безопасность с меньшими размерами ключей.

Обе эти системы эффективны против традиционных атак, но становятся уязвимыми для квантовых вычислительных архитектур.

Что такое квантовые вычисления?

Традиционные компьютеры работают на битах, которые представляют собой двоичные единицы с двумя возможными значениями: 0 и 1. Квантовые компьютеры, с другой стороны, используют кубиты, которые могут одновременно представлять и 0, и 1 благодаря феномену суперпозиции.

Сила квантовых компьютеров заключается не только в суперпозиции, но и в запутанности и квантовой интерференции, свойствах, которые позволяют им обрабатывать сложные вычисления гораздо эффективнее, чем классические компьютеры. Для некоторых задач, где классическим методам может потребоваться много времени, квантовые компьютеры могут предоставлять решения за разумные сроки.

Почему это угроза для криптографии?

Алгоритмы, разработанные для использования этих квантовых свойств, могут превосходить классические методы в определенных областях. Примером этого является алгоритм Шора, который может разложить большие числа на множители быстрее, чем наилучшие известные классические алгоритмы. Эта способность напрямую угрожает RSA и ECC, которые в настоящее время являются основой большинства безопасных коммуникаций в Интернете.

// Основы квантового алгоритма (например, алгоритм Шора) в псевдокоде
инициализация квантового состояния |ψ⟩ 
применение суперпозиции к |ψ⟩ 
выполнение квантового преобразования Фурье на |ψ⟩ 
измерение |ψ⟩ для коллапса состояния к целевым факторам

Необходимость в постквантовой криптографии

Осознав надвигающуюся угрозу, которую представляют квантовые вычисления, исследователи работают над криптографическими алгоритмами, способными противостоять квантовым атакам. Постквантовая криптография (PQC) не только опирается на те же математические задачи, что и традиционные криптографические системы, но также исследует проблемы, которые остаются вычислительно интенсивными даже для квантовых компьютеров.

Принципы постквантовой криптографии

PQC сосредотачивается на создании сложных алгоритмов как для квантовых, так и для классических компьютеров. Вот некоторые подходы:

  • Криптография на основе решеток: Опирается на задачи, создаваемые решетками в многомерном пространстве, которые представляют собой сложные структуры с трудными математическими свойствами.
  • Хэшированная криптография: Метод, испытанный временем, основанный на устойчивости к коллизиям хэш-функций. Создание подписей с использованием хэшей обычно включает цифровые одноразовые подписи.
  • Кодовая криптография: Использует сложность декодирования случайных линейных кодов в качестве своей базы.

Исследование криптографии на основе решеток

Криптография на основе решеток выделяется среди постквантовых технологий благодаря своей универсальности и эффективности. В своей основе она полагается на сложность поиска "самого короткого вектора" среди множества векторов, распределенных по решетке в n-мерном пространстве.

Самый короткий вектор

Эти векторы, хотя и простые в двух или трех измерениях, становятся все более сложными с увеличением числа измерений. Эта сложность обеспечивает безопасность.

Изменения в постквантовой криптографии

Переход к постквантовым криптографическим системам является обширной и тщательно продуманной задачей. Он включает изучение существующих систем, разработку квантово-устойчивых замен и их интеграцию в существующую инфраструктуру без нарушения функциональности.

Роль стандартов организаций

Организации, такие как Национальный институт стандартов и технологий (NIST), играют ключевую роль в этой трансформации. NIST проводит конкурсы и раунды оценки для оценки потенциальных постквантовых алгоритмов для стандартизации. Это совместное усилие обеспечивает, чтобы любой принятый алгоритм проходил тщательную проверку, доказывая свою устойчивость в ряде сценариев.

Проблемы в постквантовой криптографии

Несмотря на обещание PQC, существуют проблемы, связанные с его внедрением, такие как:

  • Вычислительная нагрузка: Многие алгоритмы PQC требуют большего размера ключей, чем традиционные аналоги, что влияет на скорость передачи данных в условиях ограниченной пропускной способности.
  • Сложность интеграции: Переход криптографических систем в широкомасштабную инфраструктуру, от банковских систем до устройств Интернета вещей, требует тщательного планирования и выполнения.
  • Передовые исследования: Область по-прежнему активна, и новые открытия формируют ее будущее. Эта изменчивость требует постоянной адаптации и обучения.

Визуализация алгоритмов и концепций

Чтобы проиллюстрировать PQC, рассмотрим пример сокровища, зарытого под слоями в многомерном лабиринте.

ключевая концепция

Как и путешественники, сталкивающиеся с множеством точек принятия решений на пути к сокровищу, система PQC представляет вычислительные задачи на множественных поворотах, делая их чрезвычайно сложными для обхода. В то время как классический маршрут может подойти в текущем сценарии, квантовые угрозы требуют серьезного отношения к этим дополнительным защитным слоям.

Заключение: взгляд в будущее

Постквантовая криптография — это не просто технологическое обновление; это необходимый сдвиг в том, как мы думаем о цифровой безопасности на фоне беспрецедентного роста вычислительных мощностей. По мере того, как квантовые технологии развиваются, должны развиваться и наши меры безопасности, чтобы мы могли защищать наши данные в эпоху, когда традиционные барьеры уже недостаточны.

Совместные усилия по разработке и интеграции квантово-устойчивых технологий — это не просто предосторожность, а фундаментальное усилие по защите нашей цифровой жизни от постоянно развивающихся угроз и обеспечению доверия и конфиденциальности в цифровую эпоху.


Магистратура → 10.3.4


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (10.3.3)
RSA и криптография на эллиптических кривых

комментарии 



Постквантовая криптография

https://www.buddymath.com/g/10.3.4?bmal=ru