RSAと楕円曲線暗号

コーディングと暗号化は、現代のデジタル通信の中心です。安全な通信のための最もよく知られている2つの方法、RSAと楕円曲線暗号（ECC）は、離散数学の原理に基づいています。この記事では、これらの暗号システムを詳細に探求し、データを暗号化するために数学的原理をどのように使用するかを明確にする手助けをします。

RSA暗号

RSAは、1977年に発表したロン・リベスト、アディ・シャミア、レナード・エーデルマンにちなんで名付けられました。これは公開鍵暗号の一種で、暗号化に使用する公開鍵と復号に使用する秘密鍵の2つの鍵を使用します。

RSAの基本原理

RSAのセキュリティは、大きな整数を因数分解することの難しさに依存しています。これは次のように機能します：

1. 鍵の作成：
   • 異なる素数を選ぶ p と q。
   • n = p * q を計算する。数値 n は公開鍵と秘密鍵の両方の法として使用されます。その長さ（通常はビットで表される）は鍵の長さです。
   • φ(n) = (p-1)(q-1) を計算する。
   • 整数 e を選ぶ 1 < e < φ(n) かつ gcd(e, φ(n)) = 1。数値 e は公開指数です。
   • d を次のように定義する：d ≡ e -1 (mod φ(n))。これは、d が φ(n) のモジュラ乗算逆数であることを意味します。
   公開鍵は (e, n)、秘密鍵は (d, n) です。
2. 暗号化：
   • 受信者の公開鍵でメッセージ M を暗号化します：C ≡ M e (mod n)、ここで C は暗号文です。
3. 復号：
   • 秘密鍵を使用して暗号文 C を復号します：M ≡ C d (mod n)、元のメッセージ M が返されます。

例示的な例

素数 p = 61 と q = 53 を選ぶと、n = 61 * 53 = 3233 になります。

合計は φ(n) = (61-1)(53-1) = 3120 です。

e = 17 を選ぶ。これは3120と互いに素です。

d を見つけるために、拡張ユークリッドアルゴリズムは d = 2753 を与えます。

メッセージの暗号化

メッセージ M = 65 を暗号化します C：

C = 65 17 mod 3233

高速指数計算を使用して、C = 2790 を得ます。

メッセージの復号

M を取り戻します：

M = 2790 2753 mod 3233

再び効率的な計算を使用して、M = 65 に戻ります。

RSAのセキュリティ

RSAの強さは、法の n のサイズにあります。値を大きくするほど、n をその素数成分 p と q に分割するのが難しくなります。この計算の難しさが秘密鍵のセキュリティを確保します。さらに、十分に大きな指数 e を選ぶことは、特定のタイプの攻撃に対してRSAを強化する役割を果たします。

楕円曲線暗号（ECC）

楕円曲線暗号は、現代の暗号化手法です。有限体上の楕円曲線の特性を使用します。ECCは、その効率性が称賛されており、RSAと同等のセキュリティを提供しながら、より小さい鍵サイズを持っています。

楕円曲線を理解する

楕円曲線は次の方程式で定義されます：

y 2 = x 3 + ax + b

暗号化の目的で、特に素数階の有限体上の楕円曲線に焦点を当てます。

y 2 = x 3 + ax + b 有限体上

素数 p の有限体 F p を考えます。その時、楕円曲線は、曲線方程式を満たすポイント (x, y) で構成され、無限遠点 O を含みます。

楕円曲線上のポイント演算

楕円曲線上の操作は、ポイント加算とスカラー乗算のルールによって管理されます。これらの操作は、有限体の合同算術の下で動作します。

数字の加算

2つのポイント P = (x 1 , y 1) と Q = (x 2 , y 2) が与えられた場合、それらの和 R = P + Q = (x 3 , y 3) は次のように計算されます：

• もし P ≠ Q ならば、次を使用します:

  λ = (y 2 - y 1) / (x 2 - x 1) mod px 3 = λ 2 - x 1 - x 2 mod py 3 = λ(x 1 - x 3) - y 1 mod p

• もし P = Q ならば、次を使用します:

  λ = (3x 1 2 + a) / 2y 1 mod px 3 = λ 2 - 2x 1 mod py 3 = λ(x 1 - x 3) - y 1 mod p

スカラー乗算

この操作はECCにおいて重要です。もし k がスカラーで P が曲線上のポイントである場合、kP は P を k 回自身に加えることによって得られる結果です。

ECC鍵生成

ECCはスカラー乗算を使用して鍵を生成します。楕円曲線鍵ペアを生成する簡単な概要は次のとおりです：

1. 素数 p とパラメータ a および b を選び、曲線を定義します。
2. 曲線内のベースポイント G を選びます。
3. 秘密鍵としてランダムな整数 d を選びます。
4. Q = dG を計算し、Q は公開鍵です。

ECC公開鍵生成の例

楕円曲線を F p 上で考えます p = 17, a = 2, および b = 2。G = (5,1) を選びます。

d = 7 と仮定すると、次を計算します：

Q = 7G = G + G + G + G + G + G + G

ポイントを繰り返し加えることにより、Q を得ます

ECCのセキュリティ

ECCのセキュリティは楕円曲線離散対数問題（ECDLP）に基づいています。2つのポイント P と kP が与えられたとき、k を決定することは計算上不可能です。これはRSAでの大きな素数の因数分解の問題に似ています。

RSAとECCの比較

RSAとECCは、データの暗号化、署名、検証という点で同じ目的を果たしますが、異なる数学的原理を用いて行います。以下にいくつかの主な違いを挙げます：

• 鍵サイズ：ECCは、RSAに比べてビットあたりの強度が大きいため、同等のセキュリティレベルでも小さい鍵が必要です。
• パフォーマンス：ECCは計算コストの観点で効率的であり、特にモバイルデバイスやリソースが限られた環境で有効です。
• 長寿命：将来的にセキュリティを維持するためにRSAはより大きな鍵サイズを必要とするため、ECCは長期的な暗号セキュリティの有力候補です。

視覚的表現

これらの原理が楕円曲線のグラフィカルな表現でどのように機能するかを考えてみましょう。

この例では、青い曲線は楕円曲線を表し、点 O は無限遠点を表します。これは楕円曲線算術において重要な概念です。

RSAとECCはどちらも、離散数学に基づく重要な暗号化の成果を表しています。RSAは整数の因数分解に依存し、ECCは楕円曲線の幾何学的特性に依存しています。いずれも、それぞれ固有の強みと用途を持つ、デジタル時代のデータを保護するための強力なソリューションを提供します。

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