Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Дискретная математика → Криптография ↓


Симметричное и асимметричное шифрование


Криптография — это важный аспект компьютерной безопасности, разработанный для защиты информации путем преобразования ее в безопасный формат, шифрования данных таким образом, чтобы их можно было прочитать только тому, у кого есть правильный ключ дешифрования. Существует два основных типа криптографических алгоритмов: симметричное и асимметричное шифрование. Оба имеют свои конкретные функции и области применения, методы и технические особенности, которые мы рассмотрим подробно.

Симметричное шифрование

Симметричное шифрование, также известное как шифрование с секретным ключом, включает использование одного ключа как для шифрования, так и для дешифрования. Этот единственный ключ должен быть разделен между сторонами, которые хотят обмениваться зашифрованными данными. Это самая старая и наиболее распространенная форма шифрования. Некоторые популярные алгоритмы симметричного шифрования включают Data Encryption Standard (DES), Advanced Encryption Standard (AES) и Blowfish.

Как работает симметричное шифрование

В симметричном шифровании и отправитель, и получатель используют общий ключ, который они используют для шифрования и дешифрования сообщений. Процесс можно резюмировать следующим образом:

Step 1: Choose a secret key. Step 2: Use the key to encrypt the message into ciphertext. Step 3: Send the ciphertext to the receiver. Step 4: The receiver uses the same secret key to decrypt the ciphertext back to the original message.

Пример симметричного шифрования

Рассмотрим простой пример симметричного шифрования:

  • Исходное сообщение: "HELLO"
  • Секретный ключ: "K"
  • Зашифрованное сообщение: Преобразуйте каждую букву, перемещая её на 'K' позиций в алфавите.

Для простоты предположим метод шифра Цезаря. Если 'K' обозначает сдвиг на 3 позиции, то:

H -> KE -> HL -> OL -> OO -> R

Шифрованный текст становится: "KHOOR".

Получатель, знающий, что ключ равен 3, может преобразовать это изменение обратно в "hello".

Преимущества и ограничения симметричного шифрования

Преимущество

  • Эффективность: Симметричное шифрование быстрее асимметричного и требует меньше вычислительных ресурсов.
  • Простота: Использование одного ключа упрощает процесс, что способствует более быстрой реализации.

Ограничения

  • Распределение ключей: Часто бывает трудно безопасно обмениваться ключами между сторонами. Если ключ скомпрометирован, зашифрованные данные больше не защищены.
  • Масштабируемость: Для сетей с большим количеством пользователей необходимое количество ключей быстро растет, что усложняет управление ключами.

Асимметричное шифрование

Асимметричное шифрование, также известное как шифрование с открытым ключом, использует пару ключей: открытый ключ и закрытый ключ. В этой системе открытый ключ можно свободно делиться, в то время как закрытый ключ остается конфиденциальным для своего владельца. Данные, зашифрованные открытым ключом, могут быть расшифрованы только соответствующим закрытым ключом и наоборот. Некоторые распространенные алгоритмы включают RSA, ECC (эллиптическую криптографию) и DSA (алгоритм цифровой подписи).

Как работает асимметричное шифрование

Процесс асимметричного шифрования работает следующим образом:

Step 1: Generate a pair of keys – public and private. Step 2: Share the public key while keeping the private key secret. Step 3: Encrypt the message using the public key. Step 4: Send the encrypted message (ciphertext) to the receiver. Step 5: The receiver uses their private key to decrypt the message.

Пример асимметричного шифрования

Вот пример асимметричного шифрования:

  • Сообщение отправителя: "HELLO"
  • Получатель делится своим открытым ключом: PubKey_B
  • Отправитель шифрует сообщение, используя PubKey_B

Шифротекст будет выглядеть по-другому, и без закрытого ключа его невозможно легко преобразовать в "HELLO":

Ciphertext Example: 5a3b8c...

Только получатель может расшифровать с помощью своего закрытого ключа: PrivKey_B.

Преимущества и ограничения асимметричного шифрования

Преимущество

  • Повышенная безопасность: Нет необходимости делиться закрытыми ключами, безопасность повышается за счет ограничения воздействия ключей.
  • Масштабируемость: В сети пользователей каждый пользователь владеет одной парой ключей, упрощая управление ключами.

Ограничения

  • Меньшая скорость: Асимметричное шифрование требует больше вычислительных ресурсов, что делает его медленнее, чем симметричные методы.
  • Сложность: Генерация и управление парами ключей сложнее, чем управление симметричными ключами.

Комбинация симметричного и асимметричного шифрования

На практике многие системы безопасности используют комбинацию симметричного и асимметричного шифрования для достижения как эффективности, так и безопасности благодаря процессу под названием гибридное шифрование. В таких системах асимметричное шифрование используется для безопасного обмена симметричным ключом, который затем используется для быстрого шифрования и дешифрования данных. Вот обзор того, как это работает:

Step 1: Generate a symmetric key for data encryption. Step 2: Encrypt the symmetric key using the receiver's public key. Step 3: Send both the encrypted data and the encrypted key to the receiver. Step 4: Receiver decrypts the symmetric key with their private key. Step 5: Use the symmetric key to decrypt the data.

Визуальный пример гибридного шифрования

ОтправительAESСообщение Зашифрованное сообщениеПолучательПолучатель использует закрытый ключСообщение расшифровано

В приведенном выше примере сообщение сначала шифруется симметричным ключом с использованием AES. Этот симметричный ключ затем шифруется с использованием открытого ключа получателя и отправляется вместе с зашифрованным сообщением. Получатель расшифровывает симметричный ключ с использованием своего закрытого ключа и затем может расшифровать сообщение.

Применение криптографии

Криптография необходима для обеспечения безопасности данных в различных отраслях и приложениях:

  • Банковская сфера: безопасные транзакции, конфиденциальность связи, проверка личности.
  • Интернет: Безопасный просмотр с использованием SSL/TLS, безопасность электронной почты с использованием PGP/GPG.
  • Здравоохранение: защита данных пациентов, безопасная связь между поставщиками медицинских услуг.
  • Правительство: защита секретной информации, защищенные каналы связи.

Заключение

Как симметричное, так и асимметричное шифрование играют важную роль в защите данных и обеспечении конфиденциальности в современную цифровую эпоху. Понимание этих криптографических методов помогает выбрать правильный подход для обеспечения безопасности в конкретных приложениях. Комбинируя сильные стороны каждой технологии, мы можем предоставить надежные решения по безопасности, которые удовлетворяют как требованиям эффективности, так и безопасности.


Магистратура → 10.3.2


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (10.3.1)
Применение теории чисел в криптографии
следующая (10.3.3) →
RSA и криптография на эллиптических кривых

комментарии 



Симметричное и асимметричное шифрование

https://www.buddymath.com/g/10.3.2?bmal=ru