Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Criptografía Simétrica y Asimétrica


La criptografía es un aspecto importante de la seguridad informática, diseñada para proteger la información convirtiéndola en un formato seguro, cifrando datos para que solo puedan ser leídos por alguien que tenga la clave de descifrado correcta. Hay dos tipos principales de algoritmos criptográficos: criptografía simétrica y asimétrica. Ambos tienen sus propias funciones y casos de uso específicos, métodos y tecnicismos, que examinaremos en detalle.

Criptografía simétrica

La criptografía simétrica, también conocida como criptografía de clave secreta, implica el uso de una sola clave tanto para el cifrado como para el descifrado. Esta única clave debe ser compartida entre las partes que desean intercambiar datos encriptados. Es la forma más antigua y común de criptografía. Algunos algoritmos de cifrado simétrico populares incluyen el Estándar de Cifrado de Datos (DES), el Estándar de Cifrado Avanzado (AES), y Blowfish.

Cómo funciona el cifrado simétrico

En el cifrado simétrico, tanto el remitente como el destinatario comparten una clave, que usan para cifrar y descifrar mensajes. El proceso se puede resumir de la siguiente manera:

Paso 1: Elegir una clave secreta. Paso 2: Usar la clave para cifrar el mensaje en texto cifrado. Paso 3: Enviar el texto cifrado al receptor. Paso 4: El receptor utiliza la misma clave secreta para descifrar el texto cifrado de nuevo al mensaje original.

Ejemplo de cifrado simétrico

Consideremos un ejemplo simple de cifrado simétrico:

  • Mensaje original: "HELLO"
  • Clave secreta: "K"
  • Mensaje cifrado: Transformar cada letra moviéndola 'K' lugares en el alfabeto.

Para simplificar, supongamos un método básico de cifrado de César. Si 'K' se refiere a un cambio de 3 posiciones, entonces:

H -> KE -> HL -> OL -> OO -> R

El texto cifrado se convierte en: "KHOOR".

El receptor, que sabe que la clave es 3, puede convertir este cambio de nuevo a "hello".

Ventajas y limitaciones de la criptografía simétrica

Beneficio

  • Eficiencia: El cifrado simétrico es más rápido que el cifrado asimétrico y requiere menos potencia computacional.
  • Simplicidad: El uso de una sola clave simplifica el proceso, lo que ayuda a una implementación más rápida.

Limitaciones

  • Distribución de claves: A menudo es difícil compartir claves de manera segura entre partes. Si la clave se ve comprometida, los datos cifrados ya no son seguros.
  • Escalabilidad: Para redes con muchos usuarios, la cantidad de claves necesarias crece rápidamente, complicando la gestión de claves.

Criptografía asimétrica

La criptografía asimétrica, también conocida como criptografía de clave pública, utiliza un par de claves: una clave pública y una clave privada. En este sistema, la clave pública se puede compartir abiertamente, mientras que la clave privada permanece confidencial para su propietario. Los datos cifrados con una clave pública solo pueden ser descifrados por la clave privada correspondiente y viceversa. Algunos algoritmos comunes incluyen RSA, ECC (Criptografía de Curva Elíptica) y DSA (Algoritmo de Firma Digital).

Cómo funciona el cifrado asimétrico

El proceso de cifrado asimétrico funciona de la siguiente manera:

Paso 1: Generar un par de claves: pública y privada. Paso 2: Compartir la clave pública manteniendo la clave privada en secreto. Paso 3: Cifrar el mensaje usando la clave pública. Paso 4: Enviar el mensaje cifrado (texto cifrado) al receptor. Paso 5: El receptor utiliza su clave privada para descifrar el mensaje.

Ejemplo de cifrado asimétrico

Aquí hay un ejemplo de cifrado asimétrico:

  • Mensaje del remitente: "HELLO"
  • El destinatario comparte su clave pública: PubKey_B
  • El remitente cifra el mensaje usando PubKey_B

El texto cifrado se verá diferente, y sin la clave privada no puede convertirse fácilmente en "HELLO":

Ejemplo de Texto Cifrado: 5a3b8c...

Solo el receptor puede descifrar usando su clave privada: PrivKey_B.

Ventajas y limitaciones de la criptografía asimétrica

Beneficio

  • Seguridad Avanzada: No hay necesidad de compartir claves privadas, la seguridad se mejora al limitar la exposición de claves.
  • Escalabilidad: En una red de usuarios, cada usuario sostiene un solo par de claves, simplificando la gestión de claves.

Limitaciones

  • Velocidad más lenta: El cifrado asimétrico requiere más recursos computacionales, haciéndolo más lento que los métodos simétricos.
  • Complejidad: La generación y gestión de pares de claves es más compleja que la gestión de claves simétricas.

Combinación de criptografía simétrica y asimétrica

En la práctica, muchos sistemas seguros utilizan una combinación de criptografía simétrica y asimétrica para lograr tanto eficiencia como seguridad a través de un proceso llamado cifrado híbrido. En tales sistemas, la criptografía asimétrica se utiliza para intercambiar de manera segura una clave simétrica, que luego se utiliza para el cifrado y descifrado rápido de datos. Aquí hay un resumen de cómo funciona:

Paso 1: Generar una clave simétrica para el cifrado de datos. Paso 2: Cifrar la clave simétrica usando la clave pública del receptor. Paso 3: Enviar tanto los datos cifrados como la clave cifrada al receptor. Paso 4: El receptor descifra la clave simétrica con su clave privada. Paso 5: Usar la clave simétrica para descifrar los datos.

Ejemplo visual de cifrado híbrido

RemitenteAESMensaje Mensajes cifradosReceptorEl receptor utiliza la clave privadaMensaje Descifrado

En el ejemplo anterior, el mensaje se cifra primero con una clave simétrica usando AES. Esta clave simétrica se cifra luego usando la clave pública del receptor y se envía junto con el mensaje cifrado. El receptor descifra la clave simétrica utilizando su clave privada y luego puede descifrar el mensaje.

Aplicaciones de la criptografía

La criptografía es esencial para proteger los datos en una variedad de industrias y aplicaciones:

  • Banca: transacciones seguras, privacidad en las comunicaciones, verificación de identidad.
  • Internet: Navegación segura usando SSL/TLS, seguridad de correos electrónicos con PGP/GPG.
  • Salud: protección de datos de pacientes, comunicaciones seguras entre proveedores de atención médica.
  • Gobierno: protección de información clasificada, canales de comunicación seguros.

Conclusión

Tanto la criptografía simétrica como la asimétrica desempeñan un rol vital en la protección de datos y el mantenimiento de la privacidad en la era digital moderna. Comprender estos métodos criptográficos ayuda en la elección del enfoque correcto para necesidades de seguridad y aplicaciones particulares. Al combinar las fortalezas de cada tecnología, podemos proporcionar soluciones de seguridad robustas que satisfacen las demandas de eficiencia y seguridad.


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Criptografía Simétrica y Asimétrica

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